振動驅(qū)動移動機(jī)器人直線運(yùn)動的滑移分岔
2017-3-1 來源：同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 作者：陳祺 占雄 徐鑒
摘要:近年來，隨著移動型機(jī)器人設(shè)計技術(shù)水平的不斷提高，其運(yùn)動形式日趨多樣. 借助于仿生學(xué)的思想，模仿蚯蚓等動物的蠕動成為不少機(jī)器人設(shè)計者所追求的目標(biāo). 為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，學(xué)者們提出并研究了振動驅(qū)動系統(tǒng). 本文研究了各向同性干摩擦下，單模塊三相振動驅(qū)動系統(tǒng)的粘滑運(yùn)動. 考慮到庫倫干摩擦力的不連續(xù)性，振動驅(qū)動系統(tǒng)屬于Filippov 系統(tǒng). 基于此，運(yùn)用Filippov 滑移分岔理論，分析了振動驅(qū)動系統(tǒng)不同的粘滑運(yùn)動情況. 根據(jù)驅(qū)動參數(shù)的不同，系統(tǒng)運(yùn)動的滑移區(qū)域被分成4 種基本情形. 對這些情形分類討論，得到系統(tǒng)的6 種運(yùn)動情況. 然后對這6 種運(yùn)動情況進(jìn)行歸納，最終得出系統(tǒng)一共存在4 種不同的粘滑運(yùn)動，而且也解析地給出了發(fā)生這4 種粘滑運(yùn)動的分岔條件. 分岔條件包含系統(tǒng)的3 個驅(qū)動參數(shù)，通過變化這些參數(shù)，得到了系統(tǒng)運(yùn)動的分岔圖. 借助分岔圖，詳細(xì)分析了隨著驅(qū)動參數(shù)的變化，系統(tǒng)如何實現(xiàn)不同粘滑運(yùn)動類型之間的切換，并從分岔角度給出了相應(yīng)的物理解釋. 最后，通過數(shù)值方法直接求解原運(yùn)動方程，數(shù)值解法得到的4 種運(yùn)動圖像與理論分析一致，驗證了系統(tǒng)運(yùn)動分岔研究的正確性.
關(guān)鍵詞:振動驅(qū)動系統(tǒng)，三相驅(qū)動，各向同性干摩擦，分岔
0.引言
眾所周知，蚯蚓等軟體動物通過蠕動實現(xiàn)運(yùn)動，這種運(yùn)動形式看似簡單，卻憑借其一大優(yōu)勢——無足，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-6]. 受此啟發(fā)，一類新型的運(yùn)動模型——振動驅(qū)動系統(tǒng)，近年來得到了廣泛的研究[7-25]. 這種運(yùn)動模型繼承了蚯蚓運(yùn)動的優(yōu)勢—— 不需要外部驅(qū)動部件，如腿或輪子，因此易于實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的微型化，密封化. 可以預(yù)見，基于振動驅(qū)動這一思想的機(jī)器人能更好地適應(yīng)多種環(huán)境，甚至有學(xué)者期望將其制成微型膠囊機(jī)器人進(jìn)入人體腸道甚至血管中治療疾病.
2005 年，Chernousko[7] 研究了兩個質(zhì)量塊系統(tǒng)的直線運(yùn)動，通過選擇合適的物理參數(shù)并合理地控制兩個質(zhì)量塊之間的相互作用力，實現(xiàn)了該系統(tǒng)的最快平均速度. 在此基礎(chǔ)上，其首次提出了由一個內(nèi)部質(zhì)量塊和一個外部箱型剛體構(gòu)成的振動驅(qū)動系統(tǒng)模型[8]. 在該模型中，內(nèi)部質(zhì)量塊相對于外部箱體做周期運(yùn)動，通過合理設(shè)計內(nèi)部質(zhì)量塊的周期運(yùn)動形式，外部箱體可以在內(nèi)部質(zhì)量塊對其作用力以及支撐面對其摩擦力的共同作用下，實現(xiàn)周期平移運(yùn)動. 因而，對質(zhì)量塊的相對運(yùn)動形式進(jìn)行設(shè)計和優(yōu)化以實現(xiàn)系統(tǒng)最大平均速度是該類系統(tǒng)研究的一個關(guān)鍵問題. 縱觀之前的研究，質(zhì)量塊的控制模式大致分為兩類：對稱控制和非對稱控制. 對稱控制意味著內(nèi)部質(zhì)量塊的相對運(yùn)動形式具有對稱性，也更容易實現(xiàn)，比如正弦驅(qū)動，但是往往需要環(huán)境提供能使系統(tǒng)發(fā)生剛體位移的異性摩擦. 2012 年，F(xiàn)ang 等[9] 在研究三模塊振動驅(qū)動系統(tǒng)時使用了正弦驅(qū)動，他們發(fā)現(xiàn)通過優(yōu)化各模塊中正弦驅(qū)動的初始相位差，能夠有效地提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平均速度. 2014 年，F(xiàn)ang等[10] 研究了正弦驅(qū)動下，單模塊振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動，重點從滑移分岔的角度分析了系統(tǒng)的粘滑運(yùn)動，加深了人們對該類系統(tǒng)粘滑運(yùn)動的認(rèn)識. 對稱驅(qū)動的研究總的來說并不如非對稱驅(qū)動的研究多. 早在2005 年Chernousko[7] 就提出了兩種非對稱驅(qū)動模式—— 兩相驅(qū)動和三相驅(qū)動，對實現(xiàn)振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動都行之有效. 2006 年，Chernousko[11] 研究了兩相驅(qū)動模式，這種驅(qū)動模式下，內(nèi)部質(zhì)量塊一個周期內(nèi)的相對運(yùn)動被分為兩段，每段上的相對運(yùn)動速度均為常數(shù). 以實現(xiàn)系統(tǒng)的最大穩(wěn)態(tài)平均速度為目標(biāo)，對兩相驅(qū)動參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化. 2007 年，Chernousko[12] 研究了三相驅(qū)動下振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動. 該種情形下，內(nèi)部質(zhì)量塊一個周期內(nèi)的相對運(yùn)動被分為三段，每段上的加速度大小為常數(shù). 由于庫倫干摩擦的存在，以及不同時間域內(nèi)，內(nèi)部質(zhì)量塊的相對加速度不同，加上系統(tǒng)速度的不斷變化，因而系統(tǒng)會發(fā)生復(fù)雜的粘滑運(yùn)動. 2011 年，F(xiàn)ang 等[13] 運(yùn)用平均法研究了三相驅(qū)動的單模塊振動驅(qū)動系統(tǒng)在不存在粘滑效應(yīng)時的速度. 但是當(dāng)考慮粘滑效應(yīng)時，平均法不再適用，根據(jù)粘滑運(yùn)動發(fā)生情況，系統(tǒng)運(yùn)動可以被細(xì)分成8 種情況. 2011 年，F(xiàn)ang 等[14] 在研究兩模塊振動驅(qū)動系統(tǒng)時，在兩個模塊中也分別施加了這種三相驅(qū)動，通過調(diào)節(jié)兩組振動的相位差實現(xiàn)了系統(tǒng)的較快運(yùn)動速度. 可見，三相驅(qū)動在振動驅(qū)動系統(tǒng)的控制中占有重要的地位. 此外，2006 年Li 等[15] 使用的四步驅(qū)動以及2011 年Huda 等[16] 使用的四相驅(qū)動也屬于非對稱驅(qū)動.
除了上文中內(nèi)部質(zhì)量塊的相對運(yùn)動形式以外，另外一個對振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動行為起很大影響的是系統(tǒng)受到的外部摩擦. 2007 年，Chernousko[12] 研究了非對稱黏性摩擦下振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動，這種環(huán)境模擬了系統(tǒng)在液體環(huán)境中的運(yùn)動. 研究針對振動驅(qū)動系統(tǒng)速度進(jìn)行了控制參數(shù)優(yōu)化，并加以實驗驗證.2009 年，Bolotnik 等[17] 研究了平方阻尼作用下系統(tǒng)的運(yùn)動情況，這種運(yùn)動常常在系統(tǒng)運(yùn)動速度較快、雷諾數(shù)較大的環(huán)境下發(fā)生. 研究表明，在平方阻尼作用下，即使是各向同性的阻力，系統(tǒng)也能實現(xiàn)向前運(yùn)動. 2011 年，F(xiàn)ang 等[13] 研究了振動驅(qū)動系統(tǒng)在非對稱庫倫干摩擦下的運(yùn)動情況，由于干摩擦存在，觀察到了前面所述的粘滑運(yùn)動.
事實上，粘滑效應(yīng)至今為止仍然是振動驅(qū)動系統(tǒng)中的一大難題. 一方面，粘滑效應(yīng)使得運(yùn)動情況復(fù)雜多樣，難以分析，另一方面，充分利用粘滑效應(yīng)也是提高系統(tǒng)運(yùn)動性能的重要措施. 粘滑運(yùn)動往往都是在庫倫摩擦之下發(fā)生，這一點，不僅在振動驅(qū)動系統(tǒng)中得到體現(xiàn)，而且在其他系統(tǒng)中也有發(fā)現(xiàn)并被研究[18;26-28]. 庫倫摩擦之所以能引起粘滑運(yùn)動，是因為其不連續(xù)性. 從運(yùn)動狀態(tài)場的角度看，這種由摩擦力引起的不連續(xù)系統(tǒng)，是一類典型的Filippov 系統(tǒng)[29-30]，而Filippov 系統(tǒng)最突出的就是利用滑移和滑移分岔理論巧妙地分析系統(tǒng)中的不連續(xù)性對運(yùn)動的影響. 2010 年，Guardia 等[26]通過滑移分岔理論研究了一個干摩擦下的彈簧振子，研究證實系統(tǒng)存在兩參數(shù)滑移分岔，并得到了其中一條余維一分岔曲線的解析表達(dá)式. 2007 年，Kowalczyk 等[27] 也通過Filippov 系統(tǒng)模型研究了干摩擦下的彈簧振子，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)中的余維二分岔，并解釋了可能發(fā)生的混沌現(xiàn)象. Filippov 系統(tǒng)理論為研究干摩擦下的彈簧振子這類系統(tǒng)行為，提供了重要的分析方法[18;26-28]. 受此啟發(fā)，2011 年，F(xiàn)ang 等[10] 也利用Filippov 系統(tǒng)描述了非對稱干摩擦下受正弦驅(qū)動的振動驅(qū)動系統(tǒng)，首次從滑移分岔角度闡明了粘滑效應(yīng)下系統(tǒng)的運(yùn)動情況，優(yōu)化結(jié)果顯示，合理優(yōu)化系統(tǒng)驅(qū)動參數(shù)和摩擦系數(shù)，能實現(xiàn)系統(tǒng)無后退移動.
回顧振動驅(qū)動系統(tǒng)十年來的研究[7-25]，無論是內(nèi)部驅(qū)動的設(shè)計，還是外部阻力的分類，抑或是研究方法的選用，都得到了長足的發(fā)展. 值得注意的是，絕大部分研究更多地是關(guān)注了摩擦力為各向異性時的情況，而對于同性摩擦的情形討論較少. 因此，本文重點研究了各向同性干摩擦下的振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動. 由于摩擦的各向同性，本文中將采用三相驅(qū)動這一非對稱驅(qū)動以保證系統(tǒng)定向移動的實現(xiàn). 此外，干摩擦條件下，系統(tǒng)的不連續(xù)性會誘發(fā)粘滑運(yùn)動，這種運(yùn)動的復(fù)雜性也對研究工作形成了挑戰(zhàn). 借助分岔理論可知，本文中所考慮的振動驅(qū)動系統(tǒng)也是Filippov 系統(tǒng)，因此可以從滑移分岔的角度對系統(tǒng)的運(yùn)動進(jìn)行分類. 這種分類有效地揭示了各向同性干摩擦下振動驅(qū)動系統(tǒng)多樣的運(yùn)動行為，對參數(shù)的設(shè)計起到一定的指導(dǎo)作用. 最后，我們用數(shù)值方法對理論分析得到的運(yùn)動分類以及運(yùn)動特性進(jìn)行了驗證.
1.振動驅(qū)動系統(tǒng)
1.1 動力學(xué)方程
振動驅(qū)動系統(tǒng)的基本模型如圖1 所示. 系統(tǒng)由兩個部分組成，分別為質(zhì)量為M 的剛性箱體以及質(zhì)量為m 的內(nèi)部質(zhì)量塊. 由前人的工作可知，通過m相對于M 的特定振動，可以實現(xiàn)系統(tǒng)在水平直線上的定向移動，由此稱其為振動驅(qū)動系統(tǒng). 易知，系統(tǒng)有兩個自由度，因而可以取兩組獨立的廣義坐標(biāo)，
圖1 振動驅(qū)動系統(tǒng)
由牛頓第二運(yùn)動定律，可得運(yùn)動方程
需要注意的是，上面的R(0) 表示速度為0 時，系統(tǒng)所受的摩擦阻力. 因此，如果內(nèi)部振動提供的驅(qū)動力不足以克服庫倫摩擦，那么摩擦力就與該力等大反向，維持系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài). 如果內(nèi)部振動提供的驅(qū)動力大于最大靜摩擦力，那么系統(tǒng)有運(yùn)動的趨勢，此時摩擦力的大小就是最大靜摩擦力. 為了簡便分析，本文中最大靜摩擦力近似認(rèn)為等于滑動摩擦力. 所以有
式(2) 和式(3) 是振動驅(qū)動的基本力學(xué)模型.
1.2 三相驅(qū)動
假設(shè)箱體內(nèi)允許質(zhì)量塊運(yùn)動的區(qū)間長度為L
三相驅(qū)動模式的基本思想是將內(nèi)部質(zhì)量塊一個周期的相對振動在時間上分為三段，三段區(qū)間的長度分別為r1, r2, r3. 并且，在每段時間區(qū)間內(nèi)，質(zhì)量塊m 相對于M 均做勻變速直線運(yùn)動，由式(5)r 式
(7) 易知，第一、三段中m 相對運(yùn)動的加速度為正常數(shù)，第二段中m 相對運(yùn)動的加速度為負(fù)常數(shù). 一個周期內(nèi)，m 相對運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下
三相驅(qū)動模式下內(nèi)部質(zhì)量塊相對運(yùn)動圖像如圖2 所示.
圖2 三相控制模式下m 的(a) 相對加速度、(b) 速度和(c) 位移
三相驅(qū)動中，獨立的控制變量有3 個，本文使用wi(i = 1; 2; 3) 作為控制的自變量. 當(dāng)一組wi(i = 1; 2; 3)選定以后，其他的變量可以根據(jù)式(4)~式(6) 導(dǎo)出，分別為
1.3 Filippov 系統(tǒng)
振動驅(qū)動系統(tǒng)的運(yùn)動情況不僅取決于內(nèi)部質(zhì)量塊的相對振動，而且與其所受的外部阻力有關(guān). 本文中系統(tǒng)所受的阻力為庫倫干摩擦，干摩擦的復(fù)雜性在于其不連續(xù)性，即當(dāng)系統(tǒng)速度方向改變時，摩擦力的變化是階躍的. 因此，就其本質(zhì)而言，本文所研究的系統(tǒng)，也就是式(2) 和式(8) 所決定的振動驅(qū)動系統(tǒng)，是一種右端不連續(xù)的微分方程系統(tǒng). 這種不連續(xù)的復(fù)雜性體現(xiàn)在力學(xué)現(xiàn)象上，就是系統(tǒng)會發(fā)生粘滑運(yùn)動，而這種特殊的運(yùn)動模式又讓傳統(tǒng)的分析方法顯得無能為力. 為了更好地從數(shù)學(xué)上描述運(yùn)動方程，以及從力學(xué)角度更好地解釋各種運(yùn)動情形的發(fā)生，本文采用Filippov 系統(tǒng)的相關(guān)理論分析振動驅(qū)動系統(tǒng). 這樣做的好處是，F(xiàn)ilippov 滑移分岔理論能有效地解釋振動驅(qū)動系統(tǒng)中的粘滑效應(yīng). 需要注意的是，F(xiàn)ilippov 系統(tǒng)中所謂的滑移運(yùn)動，其實就對應(yīng)了振動驅(qū)動系統(tǒng)粘滑運(yùn)動中的黏滯狀態(tài).
采用Filippov 系統(tǒng)分析的步驟是：建立系統(tǒng)一階狀態(tài)微分方程；確定滑移區(qū)域；具體討論在滑移區(qū)域的邊界是否發(fā)生滑移分岔. 當(dāng)然，由于本文中采用的驅(qū)動是三相驅(qū)動，本身也存在不連續(xù)現(xiàn)象，所以這又增加了分析的復(fù)雜性. 基于此，文中通過分類討論，將振動驅(qū)動系統(tǒng)中可能發(fā)生的各種滑移分岔現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的羅列、歸納.
具體地，我們首先將(2) 式由二階非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一階自治系統(tǒng)，即將t 作為狀態(tài)變量，引入變量替換，令
式中，Hx = 0 是x 的法向量.
分界面上滿足這一條件的區(qū)域稱為滑移區(qū)域(sliding region)，記為? Σ. 系統(tǒng)只有在滑移區(qū)域上，才會發(fā)生滑移運(yùn)動，也就是出現(xiàn)黏滯狀態(tài).根據(jù)Utkin 等效控制理論，滑移區(qū)域上的運(yùn)動由兩個部分構(gòu)成. 一個是F1 和F2 的平均值，另一個是控制函數(shù)β(x)，該函數(shù)用來將流形拉回到與滑移區(qū)域? Σ相切，這也就保證了系統(tǒng)的運(yùn)動始終保持在滑移區(qū)域上，具體表達(dá)式如下
2.運(yùn)動分析
圖3 系統(tǒng)在4 種情形(表1) 下的滑移區(qū)域示意圖
表1 粘滑運(yùn)動的4 種情形
2.1 情形1
此時，由表1 中的第一行數(shù)據(jù)，等價地得到
注意到x2(t1) = 0，x2(t2) > 0，也就是可能發(fā)生滑移分岔位置的速度符號確定，因而兩點處均不會發(fā)生分岔. 此時，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)示意圖對應(yīng)于圖5(a).
2.2 情形2
注意到x2(t2) > 0，x2(T) = 0，也就是分岔位置處速度的符號確定，因而兩點處均不會發(fā)生分岔. 系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)唯一，如圖5(b).
2.3 情形3
圖4 系統(tǒng)的兩種分岔示意圖
圖5 系統(tǒng)的6 種運(yùn)動形態(tài)
3 分岔
第2 節(jié)中通過對系統(tǒng)運(yùn)動分情形進(jìn)行分析，觀察到系統(tǒng)運(yùn)動出現(xiàn)了滑移分岔現(xiàn)象，也得到了6 種形式的粘滑運(yùn)動. 但是需要注意的是，這并不意味著這6 種運(yùn)動形式定性上各不相同. 本節(jié)將先從滑移分岔的觀點分析上述各運(yùn)動屬于何種滑移運(yùn)動類型.然后再具體分析各種不同運(yùn)動發(fā)生的條件，探究隨著參數(shù)變化它們之間如何通過滑移分岔實現(xiàn)相互切換.
3.1 歸納
Filippov 滑移分岔理論指出，右端不連續(xù)系統(tǒng)在不連續(xù)界面上可能會發(fā)生4 種滑移分岔(crossingsliding,grazing-sliding, switching-sliding, addingsliding)[29]，這4 種分岔的名稱也可以被借用來命名滑移運(yùn)動的類型. 利用圖3(a)，可以看到在圖5(a)中，系統(tǒng)從G1 空間進(jìn)入滑移區(qū)域之后，并不進(jìn)入G2 空間，而是保持滑移運(yùn)動直到再次進(jìn)入G1 空間.可以簡單地理解成系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)軌跡擦過滑移區(qū)域，因而這種滑移運(yùn)動稱為grazing-sliding. 同樣可以看到，圖5(c) 中的滑移運(yùn)動也可以看成是一種grazing-sliding. 這兩種運(yùn)動形態(tài)可以被歸納為同一種滑移運(yùn)動類型.
觀察圖5(b)，并結(jié)合圖3(b) 可知，系統(tǒng)由G1 空間進(jìn)入滑移區(qū)域后保持滑移運(yùn)動至
邊界，然后離開滑移區(qū)域，進(jìn)入G2 空間. 可以簡單地理解為系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)軌跡在經(jīng)過一段滑移運(yùn)動之后穿越了滑移區(qū)域，因而這種滑移運(yùn)動稱為crossing-sliding.觀察圖5(d)，并結(jié)合圖3(d) 可知，系統(tǒng)由G1 空間直接進(jìn)入G2 空間，然后又回到滑移區(qū)域. 由G2 空間進(jìn)入滑移區(qū)域后，系統(tǒng)滑移運(yùn)動至
邊界，最終回到G1 空間. 可以簡單地理解成，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡先穿過了不連續(xù)界面，然后回到滑移區(qū)域繼續(xù)運(yùn)動，對于這樣一個具有來回轉(zhuǎn)換過程的運(yùn)動，形象地稱為switching-sliding.圖5(e) 和圖5(f) 屬于同一類運(yùn)動，且都不發(fā)生滑移運(yùn)動.
邊界，然后離開滑移區(qū)域，進(jìn)入G2 空間. 可以簡單地理解為系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)軌跡在經(jīng)過一段滑移運(yùn)動之后穿越了滑移區(qū)域，因而這種滑移運(yùn)動稱為crossing-sliding.觀察圖5(d)，并結(jié)合圖3(d) 可知，系統(tǒng)由G1 空間直接進(jìn)入G2 空間，然后又回到滑移區(qū)域. 由G2 空間進(jìn)入滑移區(qū)域后，系統(tǒng)滑移運(yùn)動至邊界，最終回到G1 空間. 可以簡單地理解成，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡先穿過了不連續(xù)界面，然后回到滑移區(qū)域繼續(xù)運(yùn)動，對于這樣一個具有來回轉(zhuǎn)換過程的運(yùn)動，形象地稱為switching-sliding.圖5(e) 和圖5(f) 屬于同一類運(yùn)動，且都不發(fā)生滑移運(yùn)動. 圖5(e) 和圖5(f) 屬于同一類運(yùn)動，且都不發(fā)生滑移運(yùn)動.綜上，系統(tǒng)存在4 種定性不同的運(yùn)動類型，其中3種運(yùn)動中存在黏滯，1種無黏滯發(fā)生.
3.2 分岔圖
為了更清晰地描述滑移分岔發(fā)生的條件，判斷
由第二節(jié)的分析，不難發(fā)現(xiàn)，如果知道一個系統(tǒng)ui(i = 1; 2; 3) 的取值，以及P1 和P2 的正負(fù)號情況，那么系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)可以確定. 從式(26) 和式(27)可以看出，P1 和P2 的正負(fù)號情況分別與?P1 和?P2 一致，且最終只取決于ui(i = 1; 2; 3). 故而，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)從根本上講，取決于3 個參數(shù)ui(i = 1; 2; 3) 的取值. 由前文分析可知，隨著這3 個參數(shù)變化，系統(tǒng)有如下4 種類型的粘滑運(yùn)動.
表2 4種粘滑運(yùn)動的發(fā)生條件
圖6 振動驅(qū)動系統(tǒng)在u1--u3 平面的分岔圖
Ri (i = 1; 2; 3; 4) 表示發(fā)生不同粘滑運(yùn)動的區(qū)域，下標(biāo)i 的值與表2 中的序號對應(yīng). 對比圖6(a) 和圖6(b)，發(fā)現(xiàn)圖6(a) 中不存在?P1 = 0 這條線，而圖6 (b) 中存在；相應(yīng)地，圖6 (a) 中的R1 是1 片區(qū)域，而圖6 (b)中的R1 是2 片區(qū)域. 由此可知，當(dāng)u2 的值較小(通過數(shù)值計算，觀察到大約u2 < 3:5) 時，?P1 < 0 恒成立，看不到所謂的switching-sliding 分岔，而當(dāng)u2 的值較大(大約u2 > 3:5) 時，switching-sliding 分岔可能會發(fā)生.
當(dāng)u2 較大時，運(yùn)動分類情況較為典型也較為豐富. 以圖5(b) 為例，從左下角的R1 出發(fā)逆時針繞一圈，研究各分岔線或分界線對運(yùn)動行為的影響. 從R1出發(fā)，當(dāng)u1 的值增加時，系統(tǒng)跨過u1 = 1 分界線進(jìn)入R2 (箭頭I)，運(yùn)動類型由grazing-sliding (圖5(a)) 變成crossing-sliding (圖5(b)). 這是因為隨著u1 增加，系統(tǒng)在第一段時間上的黏滯區(qū)域逐步地變?yōu)榉丘^(qū)域，無法再保證系統(tǒng)不發(fā)生后退運(yùn)動. 從R2 出發(fā)，當(dāng)u3 的值增加時，系統(tǒng)跨過u3 = 1 分界線進(jìn)入R4 (箭頭II)，運(yùn)動類型由crossing-sliding (圖5(b)) 變成無黏滯運(yùn)動(圖5(f)). 這是因為，隨著u3 的增加，僅存的黏滯區(qū)域也逐步變成非黏滯區(qū)域，因而系統(tǒng)將不再黏滯. 注意到?P1 = 0 與?P2 = 0 兩條曲線在u1 相交，這是因為當(dāng)u1=1 時，系統(tǒng)在第一段上加速度為0(見式(2))，所以?P1 = 0 成立，也就意味著?P2 = 0 成立. 由此可知，從R4 出發(fā)，系統(tǒng)有兩種選擇，一種是跨過u1 = 1 進(jìn)入R1 (箭頭III)，運(yùn)動類型再次變成grazingsliding(圖5(c)). 這是因為隨著u1 減小，系統(tǒng)在第一段時間的非黏滯區(qū)域又變成黏滯區(qū)域，因而保證系統(tǒng)不會后退，而且，這個區(qū)域中.P1 > 0，系統(tǒng)在第三段時間內(nèi)會由于慣性保持速度為正，不會向后運(yùn)動.另外一種，系統(tǒng)從R4 出發(fā)，經(jīng)過.P2 = 0 分岔線進(jìn)入R3 區(qū)域(箭頭IV)，運(yùn)動類型變成switching-sliding (圖5(d))，這是因為跨過虛線，.P2 由負(fù)變正，意味著系統(tǒng)在第一段時間上速度由負(fù)值開始逐漸增大，且一定會在t1 時刻之前，達(dá)到速度為0. 考慮到第一段時間區(qū)間上為滑移區(qū)域，因而這會引起switching-sliding運(yùn)動. 從R1 出發(fā)，跨過.P1 = 0 分岔線，系統(tǒng)也會進(jìn)入R3(箭頭V)，這是因為點劃線左邊.P1 < 0，意味著x2(0) < 0，而第一段時間區(qū)間為滑移區(qū)域，因而會發(fā)生switching-sliding 運(yùn)動. 最后，從R3 出發(fā)，隨著u3減小，系統(tǒng)會回到R1 區(qū)域(箭頭VI). 這是因為，系統(tǒng)在第三段時間上的非粘滑區(qū)域變成了粘滑區(qū)域，再次保證了系統(tǒng)不會向后運(yùn)動.
4.數(shù)值驗證
由第3 節(jié)可知，決定系統(tǒng)分岔特性的變量是驅(qū)動參數(shù)ui(i = 1; 2; 3)，為了驗證分岔結(jié)果是否正確，以及運(yùn)動特性是否與理論分析一致，有必要對其進(jìn)行數(shù)值計算的驗證. 本節(jié)中物理參數(shù)固定，唯一改變的是驅(qū)動參數(shù). 這里選定L = 1 m, u = 0:333 3,g = 10m/s2, f = 0:2，通過改變控制驅(qū)動參數(shù)wi(i = 1; 2; 3)，可以得到所有類型的運(yùn)動特性圖形. 本節(jié)中取u2 = 5，這樣系統(tǒng)的粘滑運(yùn)動類型可以由圖6(b) 直觀地看出. 圖7 通過數(shù)值計算，得到了系統(tǒng)在不同區(qū)域的速度時間圖. 通過比較表3 和圖7，發(fā)現(xiàn)理論分析出的運(yùn)動類型和數(shù)值計算的運(yùn)動形態(tài)吻合.通過對比圖5 和圖7，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動形態(tài)的理論分析和數(shù)值計算結(jié)果吻合. 由此，驗證了本文中理論分析的正確性.
表3 數(shù)值計算四組驅(qū)動參數(shù)
圖7 數(shù)值方法得到的系統(tǒng)在不同區(qū)域的速度時程圖
5.結(jié)論
本文研究了受三相驅(qū)動的振動驅(qū)動系統(tǒng)在水平面上的直線運(yùn)動. 不同于以往的研究，本文重點關(guān)注了系統(tǒng)在各向同性干摩擦下的運(yùn)動. 這種環(huán)境與物理實際比較吻合，研究工作具有潛在的實用價值.含庫倫干摩擦的振動驅(qū)動系統(tǒng)是一種Filippov系統(tǒng)，因而本文采用滑移分岔的理論分析了其粘滑運(yùn)動. 在只考慮系統(tǒng)向前運(yùn)動的情況下，可以將運(yùn)動分成4 種基本情形. 對4 種情形分類討論，并加以歸納，最終得到4 種不同的粘滑運(yùn)動. 借助理論分析得到的分岔條件，我們給出了在驅(qū)動參數(shù)wi (i = 1; 2; 3)變化時，系統(tǒng)運(yùn)動的分岔圖. 通過數(shù)值模擬，運(yùn)動分類以及各種運(yùn)動形態(tài)的正確性都得到了驗證.通過本文的滑移分岔分析，可以看到，三相振動驅(qū)動系統(tǒng)在各向同性干摩擦環(huán)境下具有豐富的動力學(xué)行為，值得進(jìn)一步的實驗驗證和探究. 此外，從結(jié)構(gòu)上改善和提升振動驅(qū)動系統(tǒng)，使其更好地適應(yīng)各向同性干摩擦環(huán)境，也是未來值得思考的問題.
綜上，系統(tǒng)存在4 種定性不同的運(yùn)動類型，其中3種運(yùn)動中存在黏滯，1種無黏滯發(fā)生.
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