含冗余驅動支鏈4-UPS&UP 并聯機構的運動學性能分析
2017-1-4 來源：天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗 作者：董成林 劉海濤 黃 田
摘要：分析含冗余驅動支鏈4-UPS&UP 并聯機構的運動學性能，該并聯機構由著名的Tricept 機器人并聯模塊3-UPS&UP 機構增加一條無約束驅動支鏈所得。因冗余驅動支鏈的引入，該并聯機構比3-UPS&UP 機構擁有更高的承載能力和更好的靜、動態性能。在建立 4-UPS&UP 機構的位置逆解模型和7 ? 6廣義雅可比矩陣的基礎上，得到驅動關節速度到動平臺參考點線速度的4? 3量綱一雅可比矩陣，并據該矩陣的條件數提出局部運動學性能評價指標。最后，在同尺度下對 4-UPS&UP 和3-UPS&UP 并聯機構的運動學性能進行了對比分析，得到前者運動學性能優于后者的結論。
關鍵詞：并聯機構；冗余驅動；運動學性能
0.前言
為了滿足復雜工況需求，要求工業機器人驅動關節的數目大于完成任務所需的自由度數。此類機器人被稱為冗余機器人，包括運動冗余和驅動冗余兩大類[1-2]。運動冗余通過添加額外的驅動關節以增加機構運動自由度，能夠有效避免機構奇異、增大工作空間[2]，主要用于串聯機器人；而驅動冗余只增加驅動關節的個數，不改變機構的自由度，能有效地提高機器人的承載能力并獲得較好的靜、動態性能[1,3-4]，廣泛應用于并聯機器人。并聯機器人的驅動冗余通過兩種方式實現：① 在不改變原機構結的基礎上，增加支鏈中主動關節數目，使其大于機構自由度數(鏈內冗余)；② 在原機構中增加至少一條額外的驅動支鏈(支鏈冗余)[2]。第一種方式構造簡單，但易破壞原有機構的對稱性，因此第二種方式較為常見[5]。受此啟發，為進一步提高Tricept 混聯機器人[6-7]的承載能力、剛度以及動態特性，克服其在臥式布局應用中受重力場影響，導致的驅動支鏈受力不均、電機力矩過載等問題，提出在其并聯模塊3-UPS&UP 機構的基礎上，通過增加一條無約束主動支鏈(UPS) 得到含冗余驅動支鏈的4-UPS&UP 機構，如圖1 所示。
圖1 分別以3-UPS&UP、4-UPS&UP 機構為主模塊的混聯機器人
運動學性能分析是并聯機構設計的基本環節之一，其關鍵是選擇合適的性能評價指標。目前，構建并聯機構運動學性能評價指標的方式主要有兩種。一是利用速度雅可比矩陣的代數特征，如行列式、條件數、奇異值等。值得注意的是，對于存在平動與轉動自由度耦合的并聯機構，雅可比矩陣中各項的物理量綱不一致[8]，因而不能直接用其代數特征構造性能評價指標，需要首先對雅可比矩陣進行量綱歸一化處理。針對該問題，ANGELES 等[9-10]提出了特征長度法。此外，還可選用動平臺上若干特征點的線速度表征機構末端操作速度，建立其與驅動速度間的映射模型[11-12]，進而得到量綱一致的雅可比矩陣。二是借助螺旋理論，基于虛系數[13]概念構建性能評價指標，如傳遞指標[14-15]、傳遞率[16-19]等。此類指標利用實際的傳遞功率與理論上可能的最大傳遞功率之比作為評價機構運動/力傳遞特性的優劣，具有量綱一致的特點。
本文以含冗余驅動支鏈的3 自由度4-UPS&UP并聯機構為對象，在構建位置逆解模型和廣義雅可比矩陣的基礎上，以末端參考點的線速度為獨立坐標，建立此機構的量綱一雅可比矩陣，進而利用該雅可比矩陣的條件數作為局部性能評價指標，通過算例在同尺度下分析比較該機構與3-UPS&UP并聯機構的運動學性能，其目的在于初步論證該方案的可行性，以明確后續結構參數設計及承載能力、剛度、動態特性對比分析的必要性。
1.機構描述與坐標系建立
圖2 示出了4-UPS&UP 并聯機構的結構簡圖。該機構由靜平臺、動平臺以及與相連它們的四條無約束主動UPS 支鏈和一條恰約束UP 支鏈組成。在此，U、P、S 分別表示虎克鉸、移動副和球鉸； P表示主動移動副。機構中的UPS 支鏈一端通過虎克鉸和靜平臺連接，另端通過球鉸與動平臺相連；UP支鏈一端通過虎克鉸和靜平臺連接，另端與動平臺固接，進而使得動平臺僅能作繞虎克鉸兩正交回轉軸線的轉動，以及相對虎克鉸內圈的移動。易見，該3 自由度機構具有四個驅動關節(P 副)，因此屬冗余驅動并聯機構。此外，為了提高該機構的姿態能力，可以根據不同的應用需求在UP 支鏈末端串接2～3 自由度轉頭，進而實現末端執行器5～6 自由度空間運動，如圖1b 所示。
如圖 2 所示，令點Bi和 Ai ( i =1 ~ 4 )分別表示第i 條UPS 支鏈中虎克鉸和球鉸中心，二者分別構成正方形?B1B2B3B4和?A1A2A3A4；點B表示 UP 支鏈連架虎克鉸中心，且與?B1B2B3B4中心重合；點 A為UP 支鏈軸線與?A1A2A3A4 所在平面交點，且與?A1A2A3A4中心重合；UP 支鏈軸線與?A1A2A3A4所在平面垂直；末端參考點P 為UP 支鏈軸線延長線上的一點。在?B1B2B3B4所在平面內，以點B為原點建立參考坐標系Bxyz ，其中y 軸與UP 支鏈連架虎克鉸軸線重合；z軸與?B1B2B3B4所在平面垂直；x 軸滿足右手定則。為描述UP 支鏈姿態，在末端參考點P 建立連體系Puvw，其中u 軸與UP 支鏈連架虎克鉸內圈軸線重合； w 軸與該支鏈軸線重合，且由點B 指向點P ； v 軸滿足右手定則。于是，系Puvw相對系Bxyz 的姿態可通過首先繞連架虎克鉸近架軸y 軸旋轉角? ，然后繞遠架軸u 軸旋轉角來描述。據此，系Puvw相對系Bxyz 的姿態矩陣可表示為
此外，根據4-UPS&UP 并聯機構結構特點，定義其任務空間Wt為一半徑為R，高為h的圓柱體，并定義點B至Wt的最小距離為H (見圖 2)。
圖2 4-UPS&UP 并聯機構結構簡圖
2.運動學逆解分析
2.1 位置逆解
4-UPS&UP 并聯機構位置逆解分析可歸結為已知機構尺度參數和點P 位置矢量，求解動平臺姿態和各UPS 支鏈中驅動關節長度的問題。
式中，J 為7? 6矩陣，被定義為 4-UPS&UP并聯機構的廣義雅可比矩陣[20]；其中，Ja 被稱為驅動雅可比矩陣， Jc 被稱為約束雅可比矩陣。將其與3-UPS&UP 機構的雅可比矩陣進行對比，發現兩機構的Jc相同、Ja 不同。可見，冗余驅動支鏈(UPS)的引入僅改變了3-UPS&UP 機構的驅動特性，對其約束特性無影響。
3.運動學性能評價
3.1 運動學性能指標
3.2 算例
現以Tricept 605 中并聯模塊3-UPS&UP 機構為參考對象(尺度參數見表1)，在相同尺度參數及任務空間下，對比分析本文提出的4-UPS&UP 機構與3-UPS&UP 機構的運動學性能。圖 3 示出了在兩種機構在任務空間Wt 中z ? H 、z ? H ? 0.5h以及z ? H ? h三個截面內? 的分布。由圖可見，對于4-UPS&UP 機構和3-UPS&UP機構，? 均隨Wt徑向和軸向尺寸的增加而單調增大；且前者呈空間四對稱分布，后者呈空間三對稱分布。
表1 Tricept 605 基本尺度參數 m
圖 3 k在Wt 中的分布情況
表2 給出了兩種機構? 及?? 的數值計算結果。由表2 可見，4-UPS&UP 并聯機構? 的全域均值和標準差均略低于3-UPS &UP 并聯機構。若選取? 在Wt 中的均值? 及方差?? 作為全域運動學性能指標[22]，計算結果表明4-UPS&UP 機構的全域運動學性能優于3-UPS&UP 機構。
以上分析表明，含冗余驅動支鏈4-UPS&UP 并聯機構的運動學性能優于同尺度下的3-UPS&UP 并聯機構。
4.結論
本文提出了一種新型3 自由度冗余驅動并聯機構——4-UPS&UP，研究了該機構的位置逆解與速度建模問題，以末端參考點的線速度為獨立坐標構建了該機構的量綱一雅可比矩陣，據此提出以該矩陣的條件數? 作為局部運動學性能評價指標，并在同尺度下對比分析了該機構與3-UPS&UP并聯機構的運動學性能，得到如下結論。
圖 5 ?k 在Wt 上截面的等高線分布
(4) 綜上所述，冗余驅動支鏈的引入有助于提高3-UPS&UP 機構的運動學性能，其對靜、動態特性影響的定量分析將在后續的研究工作中開展。
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