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　      摘　要：為了降低加工過(guò)程的熱誤差，提高數(shù)控機(jī)床加工精度，基于時(shí)序相關(guān)分析理論與數(shù)值計(jì)算方法，建立了一種以溫度場(chǎng)分布及加工參數(shù)為輸入的新型機(jī)床主軸熱誤差建模方法．所建模型由熱誤差模型、主軸動(dòng)壓軸承熱特性模型以及主軸熱傳遞模型三部分組成．該方法首先根據(jù)時(shí)序相關(guān)理論建立熱誤差與溫度測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)模型，再通過(guò)灰色相關(guān)理論完成關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)位置與數(shù)量的優(yōu)化，同時(shí)，基于數(shù)值計(jì)算與熱傳導(dǎo)理論，建立了動(dòng)壓主軸系統(tǒng)熱特性模型．以一臺(tái)大型龍門導(dǎo)軌磨床為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，建立了磨床主軸箱熱誤差預(yù)測(cè)模型．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所建立的熱誤差模型具有良好的熱誤差辨識(shí)性能．
   
        關(guān)鍵詞：時(shí)序相關(guān)分析；雷諾方程；有限差分法；熱誤差
 
       機(jī)床熱誤差是精密加工誤差的主要來(lái)源之一，對(duì)其控制和補(bǔ)償是提高機(jī)床加工精度的關(guān)鍵技術(shù)［１］．機(jī)床熱誤差補(bǔ)償涉及熱誤差檢測(cè)、熱誤差預(yù)測(cè)模型和熱誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償三類問(wèn)題，其中熱誤差預(yù)測(cè)模型的建立最為關(guān)鍵［２］．
 
       機(jī)床熱誤差控制的最新技術(shù)是基于熱誤差預(yù)測(cè)模型的誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償技術(shù)（ＲＴＥＣ）［３］．由于機(jī)床熱誤差可以看作是關(guān)于機(jī)床熱分布、位置以及運(yùn)動(dòng)方向的確定性函數(shù)［４］，故而，可以建立以機(jī)床溫度場(chǎng)分布和運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽宰兞康臒嵴`差模型．同時(shí)，機(jī)床溫度場(chǎng)分布特性可以用若干溫度測(cè)點(diǎn)處的數(shù)據(jù)來(lái)表征［５］．
 
      本文運(yùn)用時(shí)間序列分析理論擬合熱誤差與相關(guān)溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，采用數(shù)值計(jì)算方法建立某高精度磨床主軸熱特性模型，提高了此類熱誤差模型的預(yù)測(cè)精度和魯棒性．
 
      １、　機(jī)床熱誤差模型的理論基礎(chǔ)
   
      １．１　時(shí)序分析建模方法
   
      時(shí)序分析是對(duì)觀測(cè)所得的有序隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理的一種方法，適用于輸入不可測(cè)或不確定測(cè)量數(shù)據(jù)的描述，常被用于機(jī)床熱誤差建模．
   
      根據(jù)時(shí)序分析理論［６］，對(duì)一組測(cè)點(diǎn)進(jìn)行第ｉ次測(cè)量的熱誤差χｉ可以分解為兩部分，如式（１）和式（２）所示，一部分是確定性部分，完全取決于各溫度測(cè)點(diǎn)處溫度序列Ｔｒ，ｉ的線性組合ｆ（ｉ）；另一部分是隨機(jī)性部分，完全獨(dú)立于Ｔｒ，ｉ ，由殘量εｉ確定（如儀器的測(cè)量誤差）．同時(shí)，假定εｉ是零均值的獨(dú)立序列，即白噪聲序列，因而，對(duì)于不同ｉ值，εｉ是相互獨(dú)立的．
 

 
      采用一階自回歸模型描述殘差，如式（５）所示：
 

      綜上所述，由一組測(cè)點(diǎn)確定的熱誤差計(jì)算模型如式（７）所示：

     １．２　機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法
   
    機(jī)床各部分溫度的分布特性是熱誤差產(chǎn)生的內(nèi)在原因，因而，溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)量和位置的選取將直接影響式（７）計(jì)算誤差的準(zhǔn)確性．基于已有的測(cè)試數(shù)據(jù)，采用灰色關(guān)聯(lián)度分析方法進(jìn)行溫度測(cè)點(diǎn)位置和數(shù)量的優(yōu)化選取，可以將測(cè)點(diǎn)數(shù)目控制在合理范圍內(nèi)的同時(shí)，提高式（７）的計(jì)算精度．
 
    灰色關(guān)聯(lián)度分析是按照系統(tǒng)中各特征參量序列之間的相似程度進(jìn)行系統(tǒng)分析的一種方法［７－８］，保證各特征參量間的等效性和同序性，是進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析的前提．
 
    采用極差變換法的一種改進(jìn)形式，對(duì)熱誤差與各溫度測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理，如式（８）所示：
  
    

     
  
     將各個(gè)比較序列對(duì)同一參考序列的關(guān)聯(lián)度按大小順序排列起來(lái)，即組成了反映各個(gè)比較序列對(duì)同一參考序列的“主次”關(guān)系的關(guān)聯(lián)序．依據(jù)關(guān)聯(lián)序即可對(duì)磨床主軸各溫度測(cè)點(diǎn)位置分布及測(cè)點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化處理．
   
    １．３　動(dòng)壓軸承的熱特性建模方法
   
    精密磨床運(yùn)行時(shí)，主軸軸承的摩擦熱是熱誤差的主要來(lái)源，通常也是主要的溫度測(cè)點(diǎn)．在機(jī)床的實(shí)際運(yùn)行中，高速旋轉(zhuǎn)和結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn)，難以用傳感器對(duì)軸承處的溫度進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量．通過(guò)建立主軸的熱特性描述模型，計(jì)算不同工況下主軸軸承處的溫度參數(shù)用于熱誤差建模，對(duì)于提高模型的精度和適用性都有主要意義．
 
    建立主軸動(dòng)壓滑動(dòng)軸承油膜熱特性計(jì)算模型的思路是通過(guò)對(duì)雷諾方程、溫粘方程等的聯(lián)立求解，得到動(dòng)壓軸承達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的平均溫度．計(jì)算流程如圖１所示．
 
    由于剛性徑向滑動(dòng)軸承的油膜壓強(qiáng)分布滿足雷諾方程，基于相似理論，將坐標(biāo)原點(diǎn)置于軸承軸線上，且位于軸承寬度的１／２處，對(duì)雷諾方程進(jìn)行無(wú)量綱化后得到［９］：
  
    

   
  
        圖１　主軸動(dòng)壓軸承熱特性計(jì)算流程圖
 
    式（１１）基于如下假設(shè)：
 
    １）潤(rùn)滑油重量及慣性力忽略不計(jì)；
    ２）油膜為牛頓流體，且為層流；
    ３）潤(rùn)滑油不可壓縮；
    ４）潤(rùn)滑油為定常流體；
    ５）載荷方向?yàn)榇怪庇谳S向．
    
    

     
  
     求解上述方程時(shí)，先確定承載區(qū)四周邊界的壓強(qiáng)，進(jìn)而求解整個(gè)求解區(qū)域上的壓強(qiáng)分布．
 
    １．３．２　油膜偏位角的修正
 
    由于已知載荷方向，為了確保油膜壓力分布求解的準(zhǔn)確性，需要進(jìn)行油膜偏位角的校核，從而保證油膜承載力的合力與載荷方向相反．  
  
   

    已知載荷方向?yàn)榇怪庇谳S向，則軸承的偏位角應(yīng)保證油與膜合力方向相反，采用迭代法求解穩(wěn)定狀態(tài)下軸承的偏位角．修正方程為：
     
    
  
     １．３．３　溫粘方程的求解
      
    

    
    
     １．４　主軸熱傳遞模型
   
     已知主軸運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，動(dòng)壓軸承油膜溫度如式（２１）所示，下面討論求解主軸熱特性分布的另一個(gè)關(guān)鍵條件，即主軸熱傳遞模型．
 
      采用圓柱坐標(biāo)系描述主軸溫度分布，則不含內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程為

     
  
      其中，Ｔ 為溫度，ｒ 為半徑，ｚ 為軸向坐標(biāo)，ｔ為時(shí)間，α為主軸散熱系數(shù)．
 
      式（２２）還基于如下假設(shè)：
 
     １）主軸材質(zhì)均勻且各向同性；
     ２）主軸材料的特性系數(shù)為常數(shù)；
     ３）物體內(nèi)無(wú)溫度躍變或物體相變；
     ４）主軸溫度不隨角度φ 的變化而變化．
 
    采用分離變量法，假定式（２２）有如下變量分離形式的解：
  
    

    
  
    ２　、熱誤差模型精度分析
   
    下面以某高精度龍門導(dǎo)軌磨床主軸箱系統(tǒng)（如圖２所示）為研究對(duì)象，依據(jù)上述研究結(jié)果進(jìn)行測(cè)試和建模，并對(duì)熱誤差模型精度進(jìn)行分析驗(yàn)證．
   
    首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和初步分析確定１２個(gè)測(cè)試點(diǎn)：主軸后端皮帶輪附近布置２個(gè)測(cè)點(diǎn)（１～２號(hào)測(cè)點(diǎn)）；主軸箱體上布置４個(gè)測(cè)點(diǎn)（３～６號(hào)測(cè)點(diǎn)）；主軸前段布置３個(gè)測(cè)點(diǎn)（７～９號(hào)測(cè)點(diǎn)）；電機(jī)上布置１個(gè)測(cè)點(diǎn)（１０號(hào)測(cè)點(diǎn)）；安裝座上布置２個(gè)測(cè)點(diǎn)（１１～１２號(hào)測(cè)點(diǎn)），如圖２所示．進(jìn)行溫度測(cè)試采樣．測(cè)試條件為，磨頭主軸以１　０４０ｒ／ｍｉｎ和１　５００ｒ／ｍｉｎ的恒定轉(zhuǎn)速各空載運(yùn)行２．５ｈ，每間隔５ｍｉｎ用非接觸式紅外溫度測(cè)量?jī)x測(cè)量１２個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫度各一次，與此同時(shí)，用千分表測(cè)量主軸在Ｘ，Ｙ，Ｚ 三個(gè)方向上對(duì)應(yīng)的熱漂移，總共獲取２組溫度和熱誤差數(shù)據(jù)．
 
     ２．１　主軸箱系統(tǒng)溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化
   
     采用灰色關(guān)聯(lián)度分析法，將所測(cè)得的主軸在Ｘ，Ｙ，Ｚ 三個(gè)方向上的熱誤差作為參考序列，所測(cè)得的１２組溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)作為比較序列．利用式（８）對(duì)各數(shù)據(jù)序列進(jìn)行處理，通過(guò)式（９）和式（１０）求得各比較序列與參考序列間的灰關(guān)聯(lián)度，如圖３所示．
 
     經(jīng)過(guò)關(guān)聯(lián)度大小的對(duì)比，排除關(guān)聯(lián)度小的溫度測(cè)點(diǎn)后，確定影響主軸三個(gè)方向熱漂移的關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)總數(shù)由１２個(gè)降低為８?jìng)€(gè)，分別是：１號(hào)、３號(hào)、４號(hào)、５號(hào)、６號(hào)、７號(hào)、１１號(hào)及１２號(hào)等８?jìng)€(gè)溫度測(cè)點(diǎn)．其中，１號(hào)與７號(hào)測(cè)點(diǎn)位于主軸軸承處，需采用２．３節(jié)與２．４節(jié)建立的熱特性模型對(duì)該兩個(gè)測(cè)點(diǎn)處的溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)．
 

     圖２　龍門導(dǎo)軌磨床主軸箱系統(tǒng)溫度測(cè)點(diǎn)布置圖
   

    
    
           圖３　熱誤差與溫度測(cè)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)度
     
     ２．２　主軸熱特性建模與精度分析
   
     實(shí)驗(yàn)中所采用的磨床的主軸箱動(dòng)壓軸承及其潤(rùn)滑油的參數(shù)包括：寬徑比０．８，初始偏位角９０°，偏心率０．５，軸頸半徑０．１２０ｍ，軸瓦半徑０．１６７ｍ，內(nèi)切
圓半徑０．１２１ｍ，軸承張角１４７°，初始潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度０．０２Ｐａ·ｓ，初始潤(rùn)滑油溫度２８℃，潤(rùn)滑油比熱１　８８８Ｊ／（ｋｇ·℃），潤(rùn)滑油密度８６７ｋｇ／ｍ３，軸承散熱系數(shù)８０Ｗ／ｍ２·℃，主軸轉(zhuǎn)速為１　４７０ｒ／ｍｉｎ或１　５００ｒ／ｍｉｎ． 
   
    采用主軸熱特性模型和主軸熱傳遞模型，對(duì)１號(hào)與７號(hào)測(cè)點(diǎn)處溫度時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)，將預(yù)測(cè)值序列＾ｘｉ與兩個(gè)測(cè)點(diǎn)處的溫度實(shí)測(cè)值序列ｘｉ進(jìn)行對(duì)比，并計(jì)算其相對(duì)誤差δ，結(jié)果如表１所示．相對(duì)誤差的計(jì)算公式如式（２７）所示：

      由表１可知：預(yù)測(cè)值序列與實(shí)測(cè)值序列的相對(duì)誤差較小，相對(duì)誤差平均值為１４．２％．其中，１號(hào)測(cè)點(diǎn)相對(duì)誤差最大值１３．３％，７號(hào)測(cè)點(diǎn)相對(duì)誤差３６．４％．因此，主軸熱特性辨識(shí)模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本吻合，另外考慮到１號(hào)和７號(hào)測(cè)點(diǎn)位于主軸外露的軸頸處，測(cè)試所得溫度與軸承處的溫度本身存在一定的誤差，所以，本文建立的模型能有效地描述主軸的熱特性．
   
     ２．３　熱誤差模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
   
     綜合主軸熱特性辨識(shí)數(shù)據(jù)和溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用式（７）進(jìn)行熱誤差模型的驗(yàn)證．
 
     首先，基于第１組數(shù)據(jù)中各溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)序列和熱誤差數(shù)據(jù)序列，建立主軸Ｘ，Ｙ，Ｚ 三個(gè)方向上的熱誤差預(yù)測(cè)模型．然后，選取未使用過(guò)的第２組數(shù)據(jù)中的溫度數(shù)據(jù)，代入熱誤差預(yù)測(cè)模型中，輸出Ｘ，Ｙ，Ｚ 方向的熱誤差預(yù)測(cè)值；最后，將預(yù)測(cè)值與熱誤差實(shí)測(cè)值比較．同時(shí)，預(yù)測(cè)過(guò)程中，第１號(hào)和７號(hào)測(cè)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)采用主軸箱熱特性模型的輸出值．模型的熱誤差預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值，以及兩者之間的殘差如圖４，圖５和圖６所示．
  
  
                                表１　熱特性辨識(shí)結(jié)果

  
     
    
           圖４　主軸Ｘ 方向熱漂移預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較
   

      如表２所示為本文所建立的熱誤差模型的性能指標(biāo)．由表２可知，預(yù)測(cè)值序列＾ｘｉ與實(shí)測(cè)值序列ｘｉ的相對(duì)誤差δ較小，其中，Ｘ 軸方向熱誤差相對(duì)誤差δ最大值６．３３％，Ｙ 軸方向熱誤差相對(duì)誤差δ最大值１９．２４％，Ｚ軸方向熱誤差相對(duì)誤差δ最大值１４．０５％．
 

             圖５　主軸Ｙ 方向熱漂移預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較

  
        
  
                圖６　主軸Ｚ 方向熱漂移預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較
 
 
                              表２　熱誤差辨識(shí)結(jié)果

     
  
  
      ３　、結(jié)　論
   
     １）基于空載實(shí)驗(yàn)的精密導(dǎo)軌磨床熱誤差建模方法，研究的熱誤差不受其它加工因素的耦合影響，降低了熱誤差建模的復(fù)雜程度，對(duì)于切削力不大的精密磨削具有實(shí)用意義．
    
     ２）基于時(shí)序相關(guān)分析理論與數(shù)值計(jì)算理論的熱誤差模型能有效地對(duì)機(jī)床熱誤差進(jìn)行辨識(shí)．
   
     ３）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該建模方法的有效性與可行性，為機(jī)床精密加工精度的提高與熱誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償技術(shù)提供了理論借鑒．