摘要：熱變形是影響超精密機床精度的關鍵因素之一，而熱導率是分析機床熱變形準確度的決定性因素。為了保證機床溫度場分布分析的準確性，提高機床的精度，提出一種基于熱力學理論的熱導率分析模型以及結合有限元分析的機床結構優化方法。建立自由電子氣模型以及Debye 模型，分別計算出自主設計的超精密光學磨床所采用的幾種材料的熱導率，提高熱導率的準確性；進而利用有限元軟件ANSYS 分析機床主軸、溜板箱和床身的溫度場分布；研究分析不同機床結構下主軸和機床整體的溫升規律，提出基于熱力學分析結果的一系列超精密光學磨床結構優化方法，針對誤差敏感方向，采取對電動機與溜板箱的連接件以及電動機和主軸的接觸件進行優化設計，減小熱源與主軸、箱體之間的接觸面積等方法，使機床熱變形減小，提高了機床的精度。
關鍵詞：熱導率；超精密光學磨床；溫度場分布；結構優化
0 前言?
機床定位的不準確度直接影響機床所加工零件的尺寸精度。典型的誤差來源是幾何誤差、熱機械誤差(由環境或者內部熱源引起的)、控制誤差、力誤差和檢測誤差等。其中，熱誤差是數控機床的主要誤差源之一，由溫度升高以及分布不均引起的 國家重點基礎研究發展計劃資助項目(973 計劃，2011CB013203)。20140208 收到初稿，20140719 收到修改稿誤差占機床總誤差的40%～70%[1]，對于超精密機床影響尤其重大[2]，熱問題已經成為了影響精密機床精度的關鍵因素。熱誤差是指在加工過程中機床部件由于溫度變化而導致熱變形，從而引起工件和刀具之間的相對位移，對加工工件精度產生影響[3]。目前減少熱誤差的措施主要集中在兩個方面：在設計階段通過結構優化及冷卻系統設計等措施避免和減小機床的熱誤差；在運行階段對機床進行熱誤差檢測及補償。其中，第二種方法是當前機床減小熱誤差主要采用的方法[4]，上海交通大學楊建國等提出一種數控機床的幾何與熱的復合誤差綜合建模方法，具有實時性和準確性，但其補償的范圍和效果受傳感器和外界環境的限制，穩定性不足，對于超精密機床而言，僅僅依靠軟件補償已顯得不足。
因此，在設計階段控制機床熱誤差的影響顯得尤為重要。機床設計中需要針對結構薄弱環節進行優化，尤其是對加工誤差影響較大的地方。黃強等[6]找出機床的敏感誤差，然后采用誤差防止和誤差補償的方法對這部分誤差進行有針對性的控制，以利于機床設計和制造成本的控制；同時，被優化參數的減少也有利于最優化公差設計。仇健等[7]為改善樣機的熱態精度，優化整機結構以獲取最佳熱對稱布局。陽紅等[8]利用神經網絡模型的泛化能力，對機床的重點熱剛度進行辨識，辨識結果可以作為機床熱態特性優化和結構改進的依據。因此，對于超精密而言，為提高整體精度，在機床設計階段就需要通過研究熱傳導規律和機床溫度場分布，得到機床對誤差較敏感的部分，然后采取材料優化、結構優化和冷卻系統設計等措施，得到熱剛度和穩定較好的布局和結構，有效減小超精密機床熱誤差。
目前，數值方法廣泛地被用來比較不同的機床設計，模擬溫度對機床的影響，探測熱源對工具加工中心點的位移[9]。數值方法分析關鍵的問題之一是機床材料熱導率的確定，熱導率是計算分析機床溫度分布決定性因素，它的不準確度會極大地影響分析結果。超精密機床結構由金屬材料(主軸)和非金屬材料(大理石床身)組成，金屬材料熱傳導的載體是自由電子，可將其類比成理想氣體來計算其熱導率；非金屬材料，如大理石是通過聲子散射來進行熱傳導的。非金屬材料熱導率計算最初是建立在愛因斯坦假設或者Debye 假設的基礎上的，愛因斯坦模型假定晶體中所有原子都以相同的頻率做振動，忽略了諧振子之間的差異，認為3N 個諧振子是全同的。Debye 模型則是把格波作為彈性波來處理，認為在甚低溫下不僅光學波對熱容的貢獻可以忽略，而且頻率高的聲學波對熱容的貢獻也可以忽略，因此決定晶體熱容的主要是長聲學波，即彈性波。本文采用Debye 模型計算大理石的熱導率。
本文針對自行設計的超精密光學磨床，通過自由電子氣模型以及Debye 模型，精確計算出超精密光學磨床材料的熱導率；運用理論建模和有限元分析，對機床采用穩態分析方法進行仿真分析，預測出機床模型的溫度場分布，通過分析出的不同機床構型情況下主軸溫升和機床溫升規律，提出了基于熱力學分析的超精密光學磨床結構優化方法，減小機床熱誤差，并為下一步的軟件補償提供依據和指導。
1 、超精密機床的熱源
超精密光學磨床材料的選擇對機床的移動質量、慣性矩、靜態和動態剛度、固有頻率和熱性能都有很大的影響。為了實現機床高精度、高剛度的特性，所設計的超精密光學磨床采用穩定的龍門雙橫梁結構，與一般的單橫梁龍門結構相比具有高度的對稱性，結構剛性和穩定性也較好。主體部分和溜板箱均由大理石材料制成，阻尼系數大，具有良好的靜態、動態性能和熱穩定性。主體部分采用x、y、z 三正交移動軸方案，x 軸為鏡面平臺移動軸，y軸為砂輪主軸水平移動軸，z 軸采用內嵌式結構安裝在y 軸溜板箱內部，并通過平衡氣缸進行z 軸重力平衡。磨床主軸采用靜壓電主軸，軸和軸承材料分別為40Cr 合金鋼和錫青銅，具有良好的剛度質量比和品質價格比。主軸箱采用鋁制材料以減輕移動部件重量。超精密光學磨床的整體結構如圖1 所示。
圖1 超精密光學磨床的整體結構
1.1 主軸的熱源
超精密磨床的電主軸是整個機床的核心部件，也是熱分析關鍵部件之一，圖2 為自行設計的靜壓電主軸的斷面圖。
圖2 靜壓電主軸的斷面圖
主軸系統內部的發熱是由直驅式高速異步電動機的旋轉、軸承與液壓油之間的摩擦產生的。由于軸承和液壓油之間的摩擦因數極小，并且所設計的液壓油不斷循環冷卻帶走摩擦產生的熱量以使得油腔內保持恒溫，因此實際分析時可以忽略此熱源，僅考慮電動機的發熱。一般來說主軸系統的電動機損耗主要分為機械損耗、電損耗、磁損耗和附加損耗四類，其中前三類是主要損耗，而附加損耗只占額定功率的1%～5%[10]。因此，主軸電動機的發熱量Qf 可以根據如下經驗公式求出
1.2 床身、溜板箱的熱源
床身和溜板箱的主要熱源為x、y 軸上直線電動機的發熱及導軌摩擦生熱。超精密光學磨床采用靜壓導軌支撐，配置液壓油循環冷卻系統以保持導軌恒溫。由于直線電動機具有運動慣量小，動態響應性能好和定位精度高的特點，被廣泛用于超精密機床的驅動，選用西門子直線電動機，x 軸型號為1FN3300-3NC40-0BA1 ， y 軸采用型號為1FN3150-2NB80-0BA1 的直線電動機，據西門子公司提供的資料可知其損失功率分別為1 520 W 和700 W，假定損失功率全部轉化為熱，則x 軸和y
2 、機床各部件材料熱導率的計算
金屬、半導體、絕緣體是固體的三大類。金屬的導熱載體和導電載體是一樣的，通過自由電子來傳遞；而絕緣體內部沒有自由移動的電子，因此它的導熱是通過晶格粒子振動的聲子散射來傳遞熱量；半導體則是介于兩者之間，一部分通過電子來導熱，一部分通過聲子來傳遞熱量。
2.1 主軸材料熱導率的計算
主軸的材料為Cr40 合金鋼，軸承材料為錫青銅，它們導熱載體都為自由電子。鋼是含碳量在0.021 8%～2.110 0%之間的鐵碳合金，主要元素除鐵、碳外，還有锘、硅、錳、硫、磷、鉬等；錫青銅是以錫為主要合金元素的青銅，含錫量一般在3%～14%之間，還添加磷、鉛、鋅等元素。由自由電子論可知，金屬中大量的自由電子可視為自由電子氣。因此，各種純金屬的熱導率可以通過借用理想氣體的熱導率公式來計算。從而得到金屬的熱導率
因為鋼和錫青銅的熱導率主要與元素的種類和質量分數有關。因此本文進而采用北理工蘇鐵健等研究出的關于金屬導熱率計算的線性回歸數學模型[11]，計算得到合金鋼的熱導率55 W/(m·K)，錫青銅的熱導率為44 W/(m·K)。
2.2 床身、溜板箱材料熱導率的計算
超精密機床采用天然的濟南青大理石作為床身材料，大理石是經長期天然時效，組織結構均勻，線膨脹系數極小，內應力完全消失，不變形，剛性好，硬度高，耐磨性強，溫度變形小，對減小機床的整體熱變形具有良好的效果。干燥的大理石則是絕緣的晶體，它的導熱載體是聲子。由于大理石是天然形成的，因此缺陷是必然存在的，內部存在著小孔、雜質等。因此在大理石內部熱量也是通過三種方式來傳遞的，熱傳導、熱對流、熱輻射。假設它的有效熱導率
式中 λ0 ——塊材的本征熱導率；
λp ——孔隙存在時的熱導率；
p ——孔隙率。
由于大理石內部小孔直徑很小，孔隙率也不是很大，因此大理石中小孔間氣體對流的導熱因子可以忽略，即λf 可以忽略不計。
但是機床工作時床身的溫度不會很大，在低溫時，大理石中氣孔內部輻射的導熱因子λr 也可以暫不考慮。
對于大理石中固相的導熱因子λc，它的導熱載體是聲子。氣體中的熱傳導可以看做氣體分子碰撞來傳遞熱量的，類比可以認為非金屬中的熱傳導是由聲子之間的碰撞來傳遞熱量的。因此，它的熱導率同樣可以通過類比氣體的熱導率來計算。
設頻率為ωi 的諧振子的平均聲子數目
則比熱容為
由于機床的整體溫度處于低溫區，因此采用德拜模型就可以計算出此時大理石的導熱率。
由于大理石的各種缺陷對其導熱率都具有很大的影響，圖3 為大理石導熱率的影響因素，因此要對上述結果進行優化。大理石的氣孔率為0.3%～10.0%，而做此磨床所用的大理石，經測定氣孔率為5.1%，雜質對大理石的導熱率影響最為重要，雜質參雜越多，導熱率越低。考慮諸多因素的影響，計算得出大理石的導熱率為2.91 W/(m ? K)。
圖3 大理石熱導率的影響因素
3 、換熱系數的計算
熱量的傳遞是一個非常復雜的過程，通常來說熱量的傳遞有三種基本方式：熱傳導、熱對流以及熱輻射。主軸系統而言，熱對流和熱傳導是主要的換熱方式，因此分析該主軸系統時忽略熱輻射影響。軸承外部與空氣的換熱系數[14]
通過計算，可以確定軸承外部與空氣的換熱系數為9.7 W/(m·℃)。
軸承與液壓油之間的對流換熱系數h0，通常采用經驗公式計算
4 、機床的溫度場分布和結構優化
由于機床的熱變形誤差是影響超精密機床精度的重要原因，因此對整個機床(包括主軸與床身)的熱特性分析對機床精度的保證至關重要，是超精密機床設計者必須要考慮的關鍵性因素。所以在機床的前期設計階段較準確地計算出機床的溫度場分布以及熱變形并對其進行優化設計，進而對多種方案進行比較，選定最優方案，是實現機床低成本、高質量設計的一種手段。
4.1 主軸的溫度場分布和結構優化
將主軸三維圖進行簡化之后，導入ANSYS 進行材料屬性設置、網格劃分、邊界條件以及熱載荷施加，最后計算出主軸的溫度場分布。本文所采用的主軸材料參數見表1。
表1 主軸材料的參數
由于主軸是個軸對稱模型，為了簡便計算，選取四分之一模型進行建模計算。由式(1)得到電動機的熱生產率為535 697 W/m3。將水、空氣等所有物體的初始溫度設定為20 ℃。以下分別對不同情況下的主軸進行分析。
(1) 磨床主軸選用液體靜壓軸承，通過外部液壓站供給一定壓力的冷卻液壓油，使主軸與軸承之間建立靜壓油膜，冷卻油能夠帶走軸承與軸之間相對運動產生的熱量，并且由于油膜存在，軸承與軸之間的摩擦阻力很小，與電動機的發熱相比很小，因此在分析計算中可以忽略。利用ANSYS 軟件對有無液壓油的情況進行分析，電動機冷卻水的換熱系數取為700 W /(m ·℃)，考慮到液壓站冷卻能力，軸承和軸間空隙的液壓油溫度為21 ℃。
圖4 有無液壓油條件下主軸溫度分布(℃)
從圖4 可以看出，主軸在無液壓油時的最高溫度為33.55 ℃，最低溫度為21.43 ℃；而通入冷卻液壓油之后，最高溫度為33.53 ℃，最低溫度為21.26 ℃。兩者的最高溫度和最低溫度幾何是一致的，但是在主軸軸端部分的溫度分布卻不盡相同。有液壓油時電動機產生的熱量較難傳導主軸前端，而主軸前端作為刀具安裝部分，對誤差敏感較大，因此使用靜壓主軸能夠減小熱誤差的影響。
(2) 一般主軸電動機安裝在主軸內部，由于安裝環境較為封閉，電動機產生的熱量是導致軸溫升的重要原因，主軸與電動機接觸面積的不同會對軸心溫升產生很大的影響。因此針對不同電動機的安裝接觸面積進行了溫度場分析。圖5a、5b 分別是安裝接觸面積大和安裝接觸面積小時的主軸溫度分布圖。施加的邊界條件為未加液壓油，電動機的熱生產率為535 679 W/m3，冷卻水的換熱系數仍為700W /(m ·℃)。
圖5 安裝接觸面積不同的主軸溫度分布(℃)
從圖5 可以看出，安裝接觸面積的大小主要影響軸承整體的前端溫度分布。安裝面積大時，安裝砂輪部位的溫度達到了24.44 ℃，安裝面積小時，軸端只有21.5 ℃。因此，該主軸電動機安裝所設計的安裝方式是較為合理的。
(3) 實際上電動機冷卻槽設計為螺旋形，不是以上假設的連續水層，如圖6 所示。因此，對更接近實際情況的主軸模型進行溫度場分析，結果如圖7 所示，液壓油與空氣溫度以及電動機的熱生成率同上。
圖6 螺旋形冷卻槽圖
圖7 螺旋形水槽的主軸溫度場分布(℃)
從圖7 可以看出，軸心的末端為主軸溫升最小處，溫度為20.94 ℃，靠近電動機一端的軸心溫度為25.04 ℃。
由以上主軸的溫度場分布可以看出主軸尾端是溫升最大的地方，因此在設計主軸箱時，為了加大散熱，將主軸尾端處于敞開狀態，不將其包圍在主軸箱之中。主軸發熱較大，可以使主軸與主軸箱之間留有縫隙，如圖8 所示，在此處通過空氣對流散熱，減小主軸傳遞給主軸箱的熱量。
圖8 主軸與主軸箱間的縫隙
綜上，在主軸結構方面可以通過以下三方面來進行優化以減小熱源對主軸的影響，從而提高機床的精度。采用電動機后置式結構，使得電動機熱源遠離主軸前端，減小其對軸端的影響，并有利于冷卻散熱系統的設計；電動機運轉會產生大量的熱量，因此增加電動機循環水冷系統，冷卻水將帶走絕大部分熱量，使得電動機本身的溫升降低；主軸外殼
的溫升主要是通過電動機定子與主軸外殼的熱傳導產生的，因此有必要在設計中減小電動機定子與主軸外殼的接觸面積，有效減小主軸電動機對主軸的影響。
4.2 溜板箱和床身的溫度場分析和結構優化
超精密光學磨床采用高度對稱性結構設計，有效地減小由于熱分布不均勻引起的扭曲變形。z 軸采用平衡氣缸，可以有效減小電動機負載，從而減小其功率和發熱量。機床整體置于機床罩內，運行過程中將嚴格控制環境及加工溫度，減小熱誤差。根據程強等[15]的分析，機床的z 軸運動部件直線度、平行度以及繞z 軸的轉角誤差對總的空間幾何誤差
E 產生的影響較大。在受熱時，由于z 軸導軌較細，本身比x、y 導軌剛性差，也會產生較大的熱誤差。因此，在機床的精度設計時應重點控制這幾個誤差的值。
由于直線電動機驅動時會產生大量的熱，因此選擇了帶有水冷系統的電動機，圖9a 為采用的西門子直線電動機的組成及冷卻系統裝置。直線電動機本身還具有二級水冷裝置，冷卻液采用比熱大的恒溫水。電動機主冷卻一般帶走85%～90%的熱量，精密冷卻裝置是為了阻止電動機的溫升帶到工作臺上，一般可以帶走2%以上的熱量，電動機動子的熱量可以通過空氣傳導以及熱輻射傳給定子，定子本身也會產生少量的熱，定子冷卻采用輸入管道的方式，將管道排布在次級周圍進行冷卻，可以帶走5%～8%的熱量，電動機的冷卻層示意圖如圖9b所示。
根據冷卻層結構進行有限元建模，電動機動子和定子之間的空氣的初始溫度為20 ℃，冷卻水的換熱系數為700 W/(m·℃)，增大冷卻水的流速，設冷卻水的換熱系數為1 200 W/(m·℃)，床身和溜板箱材料的參數見表2。兩種情況下的溜板箱溫度分布圖見圖10。
由圖10a 可以看出，z 軸直線導軌安裝處的溫升為20.18 ℃，y 軸安裝滑塊處為20.4 ℃左右。從圖10b 看出，通過控制水冷條件，如加大水流速度，可以增加冷卻水的對流換熱系數，此時直線電動機的發熱對周圍機械設備的影響更小，z 軸直線導軌安裝處的溫升為20.062 ℃，y 軸安裝滑塊處為20.169 ℃左右。
圖9 直線電動機冷卻裝置
表2 床身、溜板箱材料的參數
圖10 不同換熱系數下溜板箱溫度分布(℃)
考慮直線電動機對整機影響時，雖然電動機定子發熱量較小，但也會傳到機床上。x、y 軸直線電動機定子的熱生產率分別為1 652 W/m3 和1 167W/m3，圖11 是水冷條件下進行的有限元分析，得到溫度場分布，冷卻水的換熱系數為700 W/(m·℃)，由圖11 可以看出直線電動機是溫升最大的地方，對溜板箱和機床導軌產生很大的影響，因此如何減小此處的熱誤差是機床設計要考慮的重點問題之一，除了結構上優化之外，還需要從其他角度進一步考慮。
圖11 床身的溫度分布(℃)
由超精密光學磨床溜板箱和床身熱分析的結果可以看出直線電動機發熱對機床結構具有明顯影響，因此需要進一步減小直線電動機對機床傳遞的熱量。而直線電動機與機床移動件之間通過連接件連成一體，熱量主要以熱傳導形式進行傳遞。傳統的連接件大面積與機床構件接觸，熱量傳遞大，因此本文采用了圖12b 中所示的結構(其安裝圖見圖13)，電動機連接件設計多個凹槽，減小接觸面積，并通過空氣層增強熱量散發。
圖12 電動機與溜板箱的連接件
圖13 連接件(圖12b)安裝圖
經過熱分析，可以看到此結構能夠改變直線電動機傳遞到溜板箱的熱分布，使熱量轉移到對機床精度影響不大的區域，從圖14 和圖15 可以看出溜板箱中間安裝導軌部分從26 ℃左右減小到21 ℃左右，減小了導軌的熱變形。
機床采用的西門子直線電動機冷卻水水溫不高于35 ℃，在此溫度范圍內對機床z 軸導軌進行變形分析，圖16 選取幾個典型的供水溫度，從上到下分別是35 ℃、25 ℃和20 ℃，得到結構優化前后溜板箱的溫度分布和z 軸導軌的熱變形。
圖14 連接件(圖12a)對應的溜板箱的溫度場分布(℃)
圖15 連接件(圖12b)對應的溜板箱的溫度場分布(℃)
圖16 溜板箱溫度分布及z 軸導軌最大變形
從圖16 中可以看到，優化前直線電動機發熱對溜板箱和z 軸導軌影響范圍較大，甚至影響到溜板箱另一側，此時對應35 ℃、25 ℃、20 ℃水溫導軌最大變形分別為86.22 μm，67.93 μm，39.54μm；結構優化之后，直線電動機發熱對溜板箱和z軸導軌明顯減小，對應35 ℃、25 ℃、20 ℃水溫導軌最大變形分別為31.824 μm，21.335 μm，4.03
μm。機床熱剛度[1]是表征機床熱學特性的特征量，用來表示機床抵抗熱變形的能力
優化后的熱剛度Kb 與原機床的熱剛度Ka 相比有了較大的提高，因此優化后的結構能夠減小z 軸導軌的直線度和平行度誤差，降低加工方向的熱敏感性，提高加工熱穩定性。
5 、結論
(1) 通過熱力學理論，從微觀角度解釋了機床熱傳導機理，采用自由電子氣模型以及Debye 模型計算出了主軸材料導熱率為55 W/(m·K)、44W/(m·K)，溜板箱和床身材料的導熱率為2.91W/(m·K)，與試驗測得的結果相比誤差不大。
(2) 利用ANSYS 等有限元分析軟件分析了磨床主軸系統溫度場分布，進而優化了主軸結構及電動機布局。采用電動機后置方式增加熱傳遞距離；設計熱隔離縫隙，減小其與主軸外殼接觸面積，從而減小傳遞到軸端的熱量；利用靜壓軸承和電動機水冷系統，通過外部冷卻系統轉移熱量，降低主軸的溫升。
(3) 分析了機床床身溫度分布，采取少軸結構設計、對稱性設計、熱隔離設計、水冷卻系統設計及靜壓導軌設計，從熱源、熱傳播等方面有效減小了機床熱誤差的產生。
本文為超精密機床的熱誤差避免的設計提供了理論基礎，并提出了相應的結構優化原則：盡量采用對稱式結構設計，例如雙橫梁設計、雙電動機驅動等，避免熱傳播的不均勻導致的機床零件扭曲變形；減少熱源，如采用少軸結構減少電動機數量等，從根本上減小熱誤差的源頭；采用循環冷卻系統，如采用靜壓導軌，通過液壓油循環冷卻系統，盡量使導軌保持恒溫；電動機采用水冷系統，帶走電動機熱量；機床結構盡量采用同一材料，避免由于不同材料的熱膨脹系數不同導致的熱變形和熱應力,而且不同材料接觸熱阻會增，從而會導致熱誤差的增大。另外，還應該使得超精密光學磨床的工作環境溫度保持恒定，避免環境對機床進行反熱對流，導致機床溫度升高。最終得到一種熱力學性能較好的機床整機結構和零部件布局。但是，由于超精密機床結構的復雜性及環境的多變性，很難完全通過理論推導獲取通用的準確模型及參數。在機床運行過程中，仍需要采用相應的檢測及補償措施，進一步減小熱誤差，提高機床的加工精度。
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