１ 單對(duì)齒輪的嚙合剛度模型
本文主要考慮在輸入轉(zhuǎn)速和負(fù)載扭矩不變的條件下，輸出齒輪轉(zhuǎn)角的變化情況。嚙合剛度模型是一個(gè)最基本的齒輪副分析模型，只考慮了齒輪副本身的影響因素，忽略了傳動(dòng)軸的彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形和軸承的支撐剛度等。齒輪的嚙合剛度分析模型如圖１所示。
其中，θｐ、θｇ分別為驅(qū)動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)位移；
Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅(qū)動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負(fù)載轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)矩；Ｊｐ、Ｊｇ分別為驅(qū)動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ｋｍ為輪齒的嚙合綜合剛度；ｃｍ為輪齒的嚙合阻尼。
齒輪嚙合剛度模型的建模條件是：驅(qū)動(dòng)輪ｐ勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，負(fù)載扭矩Ｔｇ為恒定負(fù)載。假設(shè)在嚙合線方向上齒輪的相對(duì)位移為ｘ，則ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由于齒輪間的嚙合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ ·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：
齒輪副的動(dòng)力學(xué)方程為：
２ 傳動(dòng)鏈嚙合剛度動(dòng)力學(xué)模型
２．１ 直齒輪系統(tǒng)嚙合剛度動(dòng)力學(xué)模型［１］
在單對(duì)齒輪副嚙合剛度分析模型的基礎(chǔ)之上，考慮了傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度之后就形成了直齒輪子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖２所示。其中，Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別為各直齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分別為各直齒輪的旋轉(zhuǎn)角；Ｔ１２為輸入端的驅(qū)動(dòng)扭矩；Ｔ４２為輸出端的負(fù)載扭矩；ｃｎ為齒輪副的嚙合阻尼；ｋｎ為齒輪副的嚙合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉(zhuǎn)剛度。
直齒輪系統(tǒng)分析模型的前提條件是：輸入齒輪為勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，輸出負(fù)載扭矩為恒定負(fù)載。結(jié)合式（２）和牛頓力學(xué)理論，可以得到如下的微分方程組：
其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別為各直齒輪的基圓半徑。
根據(jù)Ｌａｐｌａｃｅ變換對(duì)式（３）進(jìn)行處理，得到關(guān)于變量ｓ的多元一次方程組，代入設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)保密），得出直齒輪子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)Ｇ４２為：
其中：θ１２、θ４２分別是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變換。
其中：ＲＳ、ＲＮ分別為太陽(yáng)輪和行星輪的基圓半徑。
（２）內(nèi)齒圈與行星輪在嚙合線方向上的相對(duì)位移δＲＮ為：
２．２．２ 齒輪嚙合力的計(jì)算
（１）內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合力ＦＲＮ為：
將式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，并轉(zhuǎn)化成方程組的形式為：
式（１１）中的變量為：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由于θ１＝θ２＝θ３，故用θＮ來(lái)替代，使之滿足θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
式（１１）進(jìn)行Ｌａｐｌａｃｅ變換，代入設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)保密）求得轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)ＧＣＳ：
其中：θＣ、θＳ分別為θＣ、θＳ的Ｌａｐｌａｃｅ變換形式。
３ 傳動(dòng)鏈動(dòng)力學(xué)總模型
將前面的直齒輪系統(tǒng)和行星差速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行綜合，用轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)來(lái)表示最終的動(dòng)力學(xué)模型。由于這兩個(gè)子系統(tǒng)是串聯(lián)關(guān)系，因此總傳動(dòng)鏈模型的轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)為：
運(yùn)用ＭＡＴＬＡＢ軟件對(duì)轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)進(jìn)行單位斜坡響應(yīng)分析，得到的曲線如圖４、圖５所示。
４ 結(jié)論
由圖４、圖５可得出如下結(jié)論：①在嚙合剛度影響下的傳動(dòng)鏈轉(zhuǎn)角的輸出曲線與輸入曲線之間存在著轉(zhuǎn)角誤差，這會(huì)影響該機(jī)床傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)精度和傳遞的準(zhǔn)確性；②轉(zhuǎn)角誤差響應(yīng)曲線經(jīng)過(guò)一定的震蕩后期后，穩(wěn)定為一條水平的直線，這表明嚙合剛度影響下的傳動(dòng)鏈轉(zhuǎn)角誤差是一個(gè)不隨時(shí)間變化的恒定；③齒輪的理論轉(zhuǎn)角相應(yīng)曲線的斜率與嚙合剛度模型下的轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線斜率基本相同，說(shuō)明嚙合剛度對(duì)傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)比基本沒(méi)有影響。
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