數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)的可靠性建模與評(píng)估研究
2021-2-1 來(lái)源：北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院等 作者：范晉偉，薛良良，劉 強(qiáng)，李偉華
摘 要: 對(duì)北京第二機(jī)床廠某系列數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，繪制主軸系統(tǒng)的概率密度函數(shù)散點(diǎn)圖，初步假定函數(shù)模型，再利用最小二乘法估計(jì)未知參數(shù)，利用卡方檢驗(yàn)和相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，最終確定主軸系統(tǒng)的分布類型為指數(shù)分布。根據(jù)所屬分布類型計(jì)算主軸系統(tǒng)的平均故障間隔時(shí)間 MTBF，平均維修時(shí)間 MTTＲ，以及固有可用度 A，對(duì)主軸系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行評(píng)估。所得結(jié)果已反饋到生產(chǎn)廠家并獲得認(rèn)可，對(duì)數(shù)控磨床整機(jī)可靠性的提升有重要意義。
關(guān)鍵詞: 主軸系統(tǒng); 可靠性建模; 數(shù)據(jù)擬合; 可靠性評(píng)估
主軸系統(tǒng)是數(shù)控磨床的關(guān)鍵組成系統(tǒng)，其可靠性的高低直接影響產(chǎn)品加工的質(zhì)量和效率。如何提高主軸對(duì)整機(jī)的可靠性是急需解決的問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)主軸系統(tǒng)可靠性的研究主要分為以下 5 個(gè)方面:( 1) 故 障 樹(shù) 分 析 ( FTA) 。羅 靜 等 結(jié) 合 層 次 分 析 法( AHP) 對(duì)主軸建立了故障遞階層次模型，確定了影響主軸 系統(tǒng)的關(guān)鍵故 障因 素，提高了主 軸 系 統(tǒng) 可 靠性; 張英芝等運(yùn)用模糊故障樹(shù)理論，對(duì)數(shù)控車床主軸系統(tǒng)進(jìn)行了故障樹(shù)定量分析。( 2) 故障模式影響及危害性分析( FMECA) 。王德超等對(duì) 161 臺(tái)加工中心主軸進(jìn)行了 FMECA 分析，采用模糊評(píng)判法計(jì)算了危害度，并擬合模型計(jì)算了首次故障間隔時(shí)間; 王廣勇等對(duì)數(shù)控銑床主軸系統(tǒng)進(jìn)行了 FMECA 分析，并對(duì)故障原因提出了改進(jìn)措施。( 3) 熱特性分析。佟威等借助于 ANSYS 的 Workbench 平臺(tái)，研究了主軸溫度場(chǎng)、應(yīng)力和變形分布規(guī)律; 樓婷婷等對(duì)立式加工中心主軸可靠性虛擬樣機(jī)建模理論進(jìn)行了深入研究，完成可靠性虛擬樣機(jī)的建立，并分析了熱特性對(duì)其可靠性的影響; Ali Zahedi 等提出了一個(gè)包括其主要部件的機(jī)械和熱行為的高速主軸可行模型。( 4) 振動(dòng)分析。張義民等利用一次二階矩法計(jì)算了主軸系統(tǒng)在特定轉(zhuǎn)速下的可靠度; 張愛(ài)華等運(yùn)用 ANSYS 軟件中參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言與蒙特卡羅法相結(jié)合的隨機(jī)有限元法研究了高速電主軸抗共振的可靠性，并通過(guò) PDS模塊計(jì)算出了高速電主軸抗共振的可靠度; JiangDayong 等通過(guò)對(duì)主軸振動(dòng)特性的提取，提出了一種利用比例風(fēng)險(xiǎn)模型將振動(dòng)特征等低層信息與可靠性指標(biāo)等高層信息連接起來(lái)的新方法。( 5) 主軸軸承可靠性分析。沈延軍等基于多狀態(tài)理論對(duì)軸承進(jìn)行可靠度分析，運(yùn)用通用生成函數(shù)法得到軸承可靠度。Young－Kug Hwang 等研究了軸承的預(yù)緊力對(duì)主軸運(yùn)行的影響，詳細(xì)介紹了預(yù)加載技術(shù)并運(yùn)用到了主軸系統(tǒng)上;Vincent Gagnol 等提出了一種基于有限元模型分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)識(shí)別相結(jié)合的高速主軸軸承系統(tǒng)建模方法。
表1：主軸系統(tǒng)故障記錄表
通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前的研究側(cè)重于熱態(tài)特性、軸承以及動(dòng)態(tài)性能模塊，對(duì)于主軸系統(tǒng)建立故障時(shí)間模型的研究相對(duì)較少，模型建立的過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單，沒(méi)有對(duì)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行細(xì)化處理。因此本文將從數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)采集，故障數(shù)據(jù)處理，可靠性模型建立，模型參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、模型優(yōu)選以及可靠性評(píng)估等方面對(duì)主軸系統(tǒng)進(jìn)行全面的分析和研究，最終確定磨床主軸系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，算出平均故障間隔時(shí)間，為廠家提高數(shù)控磨床整機(jī)的可靠性提供技術(shù)支持。
1、可靠性建模
根據(jù)《數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)定》總則，采取定時(shí)結(jié)尾試驗(yàn)的方法現(xiàn)場(chǎng)跟蹤磨床的運(yùn)行情況。在采集故障數(shù)據(jù)時(shí)，嚴(yán)格遵循總則中故障的 4 條判定原則和 3條故障計(jì)數(shù)原則，正確記錄故障發(fā)生時(shí)間、故障部位，故障現(xiàn)象，采取措施和維修時(shí)間。本文的可靠性數(shù)據(jù)均來(lái)自北京第二機(jī)床廠同一型號(hào)磨床現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及廠家用戶故障反饋信息。其中記錄關(guān)于主軸系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)為 62 條。表1為部分故障數(shù)據(jù)。
從故障記錄表中簡(jiǎn)單分析可以得出，主軸系統(tǒng)故障主要包括主軸軸承和電機(jī)軸承的損壞，皮帶斷裂，皮帶磨損和打滑，占總故障的 60%左右，皮帶和軸承是主軸系統(tǒng)故障的主要原因。由于主軸是磨床廠家生產(chǎn)制造，為此在設(shè)計(jì)制造時(shí)應(yīng)作出改進(jìn)。下面對(duì)其故障間隔時(shí)間模型做詳細(xì)分析。
2.1、故障數(shù)據(jù)處理及散點(diǎn)圖繪制
將可靠性數(shù)據(jù)按時(shí)間進(jìn)行分組，分組數(shù)量太大或太小，都會(huì)使得每個(gè)區(qū)間的故障數(shù)量極端化，增加擬合誤差。組數(shù) K 的大小通常按經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)確定，如式( 1) 所示:
式中: nf為系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)總數(shù); K 為分組的數(shù)量，經(jīng)計(jì)算取整為 7。
求出每個(gè)區(qū)間的故障數(shù)量以后，用式( 2) 可以求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)故障概率密度的觀測(cè)值，如表2所示。
表2：故障間隔時(shí)間分組表
式中: ti為每組故障數(shù)據(jù)區(qū)間中值; n 為故障總數(shù); ni為每組故障頻數(shù)，Δti為區(qū)間長(zhǎng)度。
表3：故障概率密度和累積概率表
由表3可得到主軸系統(tǒng)的概率密度散點(diǎn)圖，如圖1 所示，從圖中可以看出，該系列數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)的故障概率密度呈單調(diào)遞減的趨勢(shì)，可以近似認(rèn)為符合指數(shù)分布和威布爾分布模型。
圖1：概率密度函數(shù)散點(diǎn)圖
2.2、參數(shù)估計(jì)
在初步確定了故障分布類型以后，需要對(duì)故障概率密度函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。最小二乘法因?yàn)楹?jiǎn)單易行是常用的方法之一。下面對(duì)指數(shù)分布和威布爾分布分別用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。
( 1) 指數(shù)分布模型
指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為:
式中: λ 是失效率，為未知參數(shù)。
將( 4) 式取對(duì)數(shù)變換，得到:
令 y = 
則可以得到y(tǒng) =ax，
是滿足線性關(guān)系的。最小二乘法公式為 y =ax+b，其參數(shù)估計(jì)量為：
則可以得到y(tǒng) =ax，是滿足線性關(guān)系的。最小二乘法公式為 y =ax+b，其參數(shù)估計(jì)量為：
式中: 
代入表 2 故障數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，計(jì)算可得:
a = －0．00145
因此指數(shù)分布線性表達(dá)式為:
y = －0．00145x
繪制( x，y) 散點(diǎn)圖，擬合一元線性函數(shù)，如圖 2 所示。經(jīng)初步判斷，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間指數(shù)分布模型有效合理。
若故障間隔時(shí)間數(shù)據(jù)符合指數(shù)分布，則由上述分析可得到指數(shù)分布的參數(shù) λ = 0．001 45，累積分布函數(shù)為 
。
。
圖2：指數(shù)分布擬合圖
( 2) 威布爾分布模型
二參數(shù)威布爾分布的累計(jì)分布函數(shù)為式( 9) 所示，有 η 和 β 兩個(gè)未知參數(shù)。為方便進(jìn)行一元線性回歸，將式( 9) 進(jìn)行兩次對(duì)數(shù)變換，結(jié)果為式( 10) 。
令 y =
，x = lnt ，若故障間隔時(shí)間符合威布爾分布，則 y 和 x 滿足線性關(guān)系 y = βx －βlnη。 通過(guò)最小二乘法參數(shù)計(jì)算公式( 6) 和( 7) ，即可求得回歸方程 y = ax + b 中的回歸系數(shù) a 和 b，進(jìn)而確定未知參數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系如下所示:
，x = lnt ，若故障間隔時(shí)間符合威布爾分布，則 y 和 x 滿足線性關(guān)系 y = βx －βlnη。 通過(guò)最小二乘法參數(shù)計(jì)算公式( 6) 和( 7) ，即可求得回歸方程 y = ax + b 中的回歸系數(shù) a 和 b，進(jìn)而確定未知參數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系如下所示:
將表 3 故障間隔時(shí)間數(shù)據(jù)代入計(jì)算得 a = 0．696，b= －4．155。因此威布爾分布線性表達(dá)式為:
y = 0．696x － 4．155
繪制( x，y) 散點(diǎn)圖，同時(shí)擬合一元線性函數(shù)，如下圖 3 所示。經(jīng)初步判斷，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間符合威布爾分布模型。
若故障間隔時(shí)間數(shù)據(jù)符合威布爾分布，則由上述分析可得到威布爾分布的參數(shù)為 β = 0．696，η = 391．7。累積分布函數(shù)為 F( t) =
。
。 2.3、擬合檢驗(yàn)
由上圖 2、圖 3 可以看出指數(shù)分布和威布爾分布都近似符合磨床主軸系統(tǒng)的故障時(shí)間模型，但是很難得出概率密度觀測(cè)值與擬合曲線之間是否真的具有關(guān)聯(lián)性，或關(guān)聯(lián)度大小，因此需要對(duì)上兩種模型假設(shè)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。
此次檢驗(yàn)采用 χ2檢驗(yàn)，原理是將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 χ2的觀測(cè)值與臨界值進(jìn)行比較，計(jì)算理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)之間的差異，如果滿足式( 14) 的條件，則接受原定假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)。
圖3：威布爾分布擬合圖
式中: n 為樣本數(shù)量 62; k 為分組數(shù)量 7; vi為第 i 分組的實(shí)際頻數(shù); npi為理論頻數(shù); m 為未知參數(shù)，α 為顯著性水平。
( 1) 指數(shù)分布模型檢驗(yàn)
由參數(shù)估計(jì)可得指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為式( 15) 所示，概率密度函數(shù)擬合圖為圖 4 所示:
圖4：指數(shù)分布概率密度擬合圖
由式 ( 14) 計(jì)算出指 數(shù)分布時(shí)的χ2值 為: χ2e=1．366，在顯著水平 α = 0．05 時(shí)，查卡方檢驗(yàn)臨界值表，在 5 個(gè)自由度下的
= 11．071。由于
＜
，所以假設(shè)成立，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間函數(shù)符合指數(shù)分布。
= 11．071。由于＜，所以假設(shè)成立，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間函數(shù)符合指數(shù)分布。 ( 2) 威布爾分布模型檢驗(yàn)
由參數(shù)估計(jì)可得威布爾分布的概率密度函數(shù)所式( 16) 所示，概率密度函數(shù)擬合圖為圖 5 所示:
由式( 14) 計(jì)算出威布爾分布時(shí)的 χ2值為: χ2w=8．498，在顯著水平 α = 0．05 時(shí)，查卡方檢驗(yàn)臨界值表，在 4 個(gè)自由度下的
= 9．488。由于
＜
，所以假設(shè)成立，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間函數(shù)符合威布爾分布。
= 9．488。由于＜，所以假設(shè)成立，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間函數(shù)符合威布爾分布。
圖5：威布爾分布概率密度擬合圖
2.4、模型優(yōu)選
通過(guò)擬合檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)指數(shù)分布和威布爾分布均符合主軸系統(tǒng)的故障間隔時(shí)間模型，從概率密度擬合圖中大致可以看出指數(shù)分布模型擬合效果更佳，卡方檢驗(yàn)中指數(shù)分布每組的理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)也較為接近。為了準(zhǔn)確比較擬合優(yōu)度，確定最優(yōu)模型，還需進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)。
相關(guān)系數(shù)法常用于線性回歸檢驗(yàn)是此次模型優(yōu)選的方法，用線性相關(guān)系數(shù) Ｒ 來(lái)表示，如式( 17) 所示，Ｒ 值越大，表示函數(shù)擬合效果越好，線性度也越高。
式中: xi為第 i 個(gè)樣本數(shù)據(jù)觀測(cè)值，x－ 是樣本數(shù)據(jù)均值，yi是擬合模型第 i 個(gè)值，y－ 是擬合模型均值。
經(jīng)計(jì)算指數(shù)分布的線性相關(guān)系數(shù) Ｒe和威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù) Ｒw分別為：
圖6：主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間累積分布擬合圖
指數(shù)分布、威布爾分布擬合效果圖如圖 6 所示，且由計(jì)算結(jié)果可以看出，Ｒe＞ Ｒw，指數(shù)分布函數(shù)擬合效果更優(yōu)。
3、可靠性評(píng)估
通過(guò)上述模型分析，主軸系統(tǒng)故障間隔時(shí)間服從指數(shù)分布，為了從時(shí)間值的角度描述其可靠性，本文采用平均故障間隔時(shí)間 MTBF，平均修復(fù)時(shí)間 MTTＲ，以及固有可用度
來(lái)評(píng)估。
來(lái)評(píng)估。 ( 1) 平均故障間隔時(shí)間
平均故障間隔時(shí)間( MTBF) 是指產(chǎn)品一次故障到下一次故障的平均工作時(shí)間，是常用的可靠性評(píng)價(jià)指標(biāo)。式子如下所示，f( t) 為概率密度函數(shù)。
指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為式( 15) ，代入求得主軸系統(tǒng)的平均故障間隔時(shí)間為:
( 2) 平均修復(fù)時(shí)間
平均修復(fù)時(shí)間( MTTＲ) 是產(chǎn)品從發(fā)現(xiàn)故障到維修完成、恢復(fù)生產(chǎn)所用的時(shí)間的平均值。平均修復(fù)時(shí)間與故障次數(shù)和每次故障維修所發(fā)生的時(shí)間有關(guān)，計(jì)算公式如下:
式中: N 為產(chǎn)品總數(shù); ni為第 i 個(gè)產(chǎn)品的維修次數(shù); ij為第 i 個(gè)產(chǎn)品第 j 次維修所用的時(shí)間。
根據(jù)得到的故障數(shù)據(jù)分析，主軸系統(tǒng)的平均維修時(shí)間為 MTTＲ = 1．688 h。
( 3) 固有可用度
產(chǎn)品的固有可用度是產(chǎn)品能正常工作的時(shí)間與服務(wù)時(shí)間的比值，即在規(guī)定條件下，
產(chǎn)品保持其功能的概率，計(jì)算公式如下:
4、結(jié)語(yǔ)
通過(guò)對(duì)機(jī)床廠采集的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，對(duì)數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性建模和評(píng)估。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分組處理，散點(diǎn)圖的繪制，初步假定了主軸系統(tǒng)的故障模型符合指數(shù)分布和威布爾分布。然后分別對(duì)其進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)、擬合檢驗(yàn)、模型優(yōu)選，最終確定了主軸系統(tǒng)符合指數(shù)分布。利用指數(shù)分布的函數(shù)表達(dá)式求出了主軸系統(tǒng)的平均故障間隔時(shí)間MTBF=691．085 h，平均維修時(shí)間 MTTＲ = 1．688 h 和固有可用度A= 0．998。以上擬合的模型和計(jì)算結(jié)果及時(shí)反饋給了廠家，并得到了廠家的認(rèn)可。這為數(shù)控磨床其他子系統(tǒng)可靠性建模和評(píng)估提供了參考，對(duì)整機(jī)可靠性分析有重要意義。
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