數控凸輪軸磨床運動誤差分析與建模技術
2018-8-7 來源：北京工業大學機械工程與應用電子技術學院 作者：范晉偉，王鴻亮，張蘭清，唐宇航
摘要: 為了對某數控凸輪軸磨床的運動誤差進行分析和建模，分析研究了各運動部件間運動形式和誤差類型，運用相鄰體坐標系間的運動變化來表達 2 相鄰體之間的運動情況，建立了相鄰體之間的理想運動方程和有誤差情況下的實際運動方程． 將相鄰體間的實際運動方程進一步推廣到任意低序體陣列分析當中，為研究多分支數控凸輪軸磨床誤差建模提供理論基礎． 將復雜的多分支鏈數控凸輪軸磨床抽象為簡單的多體系統，對各運動部件建立相應的體坐標系和運動參考坐標系，求出相鄰體間對應的變換矩陣． 最后，將機床運動部件劃分為“工件－床身”和“砂輪－床身”2 條運動鏈，提出了有誤差影響情況下實現精密加工約束條件方程為 Pw= Pt，且對該方程進行了求解，為數控凸輪軸磨床誤差補償的研究提供了必要條件． 結果表明: 誤差補償后的機床加工精度顯著提高．
關鍵詞: 數控凸輪軸磨床; 誤差分析; 多體系統; 運動關系; 誤差建模
凸輪軸廣泛用于汽車、摩托車、內燃機等發動機，主要控制氣門的開啟與閉合，其輪廓的加工精度直接影響發動機的工作性能． 數控凸輪軸磨床作為最常用的高效、高精度凸輪軸加工最后一道工序設備，其精度保持性至關重要． 但考慮到所有機床均會面臨工作中由于各種誤差引起的工作精度降低問題，這就需要對機床進行誤差分析，并采取適當措施進行誤差防止或誤差補償． 因此，減小誤差對機床加工精度的影響方法可分為誤差防止法和誤差補償法． 誤差補償法是在不改變原有機床的基礎上，通過建立機床誤差模型，辨識機床各項誤差并通過修正數控指令的方法來減小機床誤差對工件加工精度的影響． 誤差補償法克服了傳統誤差防止法費用高、適用性差等缺點而得到了迅速發展．機床運動誤差分析與建模是誤差補償的基礎，對機床誤差能否正確分析是誤差建模的關鍵問題．為提高數控凸輪軸磨床加工精度以及精度保持性，有必要對數控凸輪軸磨床的運動誤差分析與建模進行研究． 目前，國內外對數控機床誤差補償技術的研究主要有: 粟時平采用多體系統理論對多軸數控機床精度建模與誤差補償方法進行了研究． 范晉偉等對提高精密凸輪磨削精度的幾何誤差補償技術進行了研究． 李建對凸輪軸數控磨削誤差分析和補償技術進行了研究和軟件設計． 王維等采用多項式擬合與線性擬合方法對數控機床幾何誤差與熱誤差進行綜合建模和誤差在線實時補償． 王曉峰對復合數控機床幾何誤差補償及誤差影響溯源進行了分析． Lechniak 等提出了利用離線軟件進行誤差補償． Chnan 等對三軸磨床幾何和力的誤差補償進行了研究． ZHANG 等利用雙球桿儀對五軸數控機床回轉工作臺誤差進行了檢測和補償．
機床一般都是由多個運動體組成的復雜機械系統，多體系統理論是將對復雜機械系統的分析分解為對運動體分析，然后將其耦合． 數控凸輪軸磨床是特殊輪廓加工機床，隨著近年來隨動式凸輪軸磨床的應用越來越廣泛，以往的誤差分析和建模方法太過于復雜，機床誤差建模又缺乏通用模型，不同類型的機床需建立不同的誤差模型，而多體系統理論能用于降低機床誤差建模的難度，很少有人將多體系統理論應用到該機床誤差建模中，因此本文采用多體系統理論對隨動式數控凸輪軸磨床進行了建模技術研究.
1、 數控凸輪軸磨床運動分析及誤差分類
對某隨動式數控凸輪軸磨床進行三維建模并簡化，其結構示意圖如圖 1 所示． 該機床是一種特殊的三軸機床，其運動包括砂輪架沿砂輪架底座的 x向移動，工作臺沿床身的 z 向移動以及主軸帶動工件繞 c 軸的轉動． 在工作中主要是通過控制 x 軸和c 軸的聯動來完成凸輪輪廓的加工． 通過多個運動單元組成的機床，各運動單元的誤差可分為與位置點無關的誤差和與位置點有關的誤差． 與位置點無關的誤差包括: x 軸與 z 軸和 c 軸之間的垂直度誤差以及 z 軸與 c 軸之間的平行度誤差，如圖 2( a) 所示．在空間坐標系中任意物體均有 6 個自由度，在運動過程中必然產出 6 項誤差，3 項線位移誤差和 3 項角位移誤差，這些誤差是與位置點有關的誤差，三軸機床共有 18 項與位置點有關的誤差，以 x 向移動部件為例來說明如圖 2( b) 所示，各項運動誤差參數如表 1 所示．
圖 1 數控凸輪軸磨床結構
表 1 數控凸輪軸磨床幾何誤差參數
圖 2 誤差參數
2 、數控凸輪軸磨床拓撲結構及低序體陣列描述
多體系統是指由多個剛體或柔性體通過某種形式連接而成的復雜機械系統，多體系統運動學理論是指將機床的各個運動部件看作不同的剛體，對每個剛體分別建立體坐標系和運動坐標系，并對多體系統每個分支按照由小到大的順序進行排列，將機床的運動變為剛體坐標系之間的運動，對機床的運動分析變為多體坐標系之間的運動分析． 利用多體系統運動學理論對該數控機床進行拓撲結構及低序體陣列描述，以床身為分支起點，按床身－砂輪和床身－工件分支劃分，最后再以磨削點位置為終點，使機床組成閉環系統． 故該機床共有 2 條運動鏈，分別是由 1-6-7-8 體組成的床身－砂輪鏈( B-T) 和 1-2-3-4-5 體組成的床身－ 工件鏈( B-W) ． 該機床的拓撲結構圖如圖 3 所示． 拓撲結構的低序體陣列如表2 所示．
3 、相鄰體運動關系模型的建立
對機床各運動部件進行分解，研究相鄰體間的運動學關系，最后通過變換矩陣乘積耦合建立整個機床的運動模型，可以大大降低直接研究多個運動體關系的復雜度.
圖 3 數控凸輪軸磨床拓撲結構
表 2 數控凸輪軸磨床拓撲結構的低序體陣列
3. 1 理想情況下相鄰體運動關系模型的建立
圖 4 為理想情況下相鄰體 Bi和 Bj的相互關系，Oi和 Oj分別為兩相鄰體的體坐標系，Qj為固定在 Bi體上的 Bj的運動參考點，Bj相對于 Bi的相對位置可用 Qj相對于 Oi的位置矢量 pj來表示，Bj相對于 Bi的相對移動可用 Oj相對于 Qj的位移矢量 sj來表示，Ｒ為慣性坐標系，因此相鄰體間的運動關系可由相鄰體坐標系之間的變化來表示．
圖 4 理想情況下相鄰體相對運動
設 P 為 Bj體上任意一點，由上述分析可知，P在 Oi-xiyizi坐標系中的位置矢量為.
圖 5 有誤差情況下相鄰體相對運動示意圖
圖 6 數控凸輪軸磨床拓撲結構
為實現機床精密加工，必須使砂輪磨削點在慣性坐標系中的坐標與工件磨削點在慣性坐標系中的
精密加工約束方程中的 21 項誤差參數可通過雙球桿儀并配合多體系統理論進行測量和辨識，通過建立刀具路線和數控指令的映射關系以及數控指令和實際刀具軌跡的映射關系，利用這 2 個關系可以對有誤差情況下的數控指令進行修正，并進行判別得到滿足精度要求的數控指令值，考慮到篇幅問題對于誤差補償過程不在敘述． 該方法已進行了實驗，利用誤補償后的機床加工某汽車發動機進排氣凸輪軸，通過與補償前機床加工比較凸輪軸的最大升程誤差已由 22 μm 降到了 9 μm，由此可見，誤差補償后的機床加工精度已顯著提高．
5 、結論
1) 對數控凸輪軸磨床基本結構進行了分析，各相鄰體之間的連接形式分別為剛性連接、導軌滑動連接和軸承連接的一種特殊的多體系統． 因此可將數控凸輪軸磨床直接抽象為具有“工件－ 床身”和“砂輪－床身”2 條運動鏈的開環多體系統，完全可以利用多體系統運動學理論對機床進行簡化分析和建模，最后再以工件磨削點和砂輪磨削點重合使系統形成閉環系統．
2) 對數控凸輪軸磨床幾何誤差進行了分析，將誤差類型分為了與位置點無關誤差和與位置點有關誤差，分析了不同類型誤差的作用機理，提出了誤差參數的描述方法．
3) 運用多體系統誤差分析理論，對數控凸輪軸磨床建立了誤差分析模型，推導出了工件磨削點運動約束方程的表達式，給出了實現精密加工的必要條件，為數控凸輪軸磨床誤差補償的研究提供了必要條件．
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